ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 591 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 2? на 5? на 10?

Краткий ответ:

Пятьзначные числа по признаку делимости

Делимость на 2Число делится на 2, если оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.

Первая цифра не может быть 0, поэтому:

1-я позиция: 9 вариантов (1–9)
4-я позиция (единицы): 5 вариантов (0,2,4,6,8)
2-я и 3-я позиции: по 10 вариантов каждая

9 × 10 × 10 × 10 × 5 = 45000

Итого: 45000 пятизначных чисел делятся на 2.

Делимость на 5Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5.

Первая цифра не может быть 0, поэтому:

1-я позиция: 9 вариантов (1–9)
4-я позиция (единицы): 2 варианта (0,5)
2-я и 3-я позиции: по 10 вариантов каждая

9 × 10 × 10 × 10 × 2 = 18000

Итого: 18000 пятизначных чисел делятся на 5.

Делимость на 10Число делится на 10, если оно оканчивается цифрой 0.

Первая цифра не может быть 0, поэтому:

1-я позиция: 9 вариантов (1–9)
4-я позиция (единицы): 1 вариант (0)
2-я и 3-я позиции: по 10 вариантов каждая

9 × 10 × 10 × 10 × 1 = 9000

Итого: 9000 пятизначных чисел делятся на 10.

Подробный ответ:

В алгебре и комбинаторике часто требуется посчитать количество чисел, удовлетворяющих определённым условиям. Один из базовых примеров — подсчёт пятизначных чисел, которые делятся на заданные основания, такие как 2, 5 или 10.

Что такое пятизначное число?

Под пятизначным числом понимается целое число в диапазоне от 10000 до 99999 включительно. При этом ведущая цифра не может быть нулём, потому что в таком случае число перестаёт быть пятизначным.

Общее количество пятизначных чисел.

Чтобы найти, сколько существует пятизначных чисел, вычтем из максимального числа минимальное и прибавим единицу: 99999 − 10000 + 1 = 90000. Значит, перед нами целый набор из 90000 вариантов.

Подход к подсчету.

Для каждого критерия делимости мы будем фиксировать ограничение на последнюю цифру числа. Остальные разряды (десятки тысяч, тысячи, сотни и десятки) меняются по закону «любая цифра от 0 до 9», за исключением десятков тысяч, где диапазон сужается до 1–9.

Делимость на 2.

Критерий делимости на 2 основан на чётности последней цифры: число оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Первая цифра может быть только от 1 до 9 (9 вариантов), три средних разряда — от 0 до 9 (по 10 вариантов каждый), а последняя — из пяти чётных вариантов. Соответственно, общее число пятизначных чётных чисел равно 9 × 10 × 10 × 10 × 5 = 45000. Таким образом, ровно 45000 пятизначных чисел делятся на 2.

Делимость на 5.

Критерий делимости на 5 требует, чтобы последнее число было либо 0, либо 5. Первую цифру снова выбираем из 1–9 (9 вариантов), три средние — из 0–9 (по 10 вариантов), а последняя — из двух вариантов. Получаем 9 × 10 × 10 × 10 × 2 = 18000. Значит, существует 18000 пятизначных чисел, делящихся на 5.

Делимость на 10.

Делимость на 10 требует, чтобы число заканчивалось строго на 0. Снова первая цифра — любая из 1–9 (9 вариантов), три средних разряда по 10 вариантов, последняя — ровно 0 (1 вариант). Итоговая формула: 9 × 10 × 10 × 10 × 1 = 9000. Таким образом, таких чисел ровно 9000.

Итог.

Важно отметить, что множественные правила делимости для каждого критерия затрагивают только последнюю цифру числа. Все остальные разряды работают по одному и тому же принципу: перестановка любой цифры из разрешённого диапазона ни на что не влияет, если не нарушается условие по первой или последней позиции.

Оцени решение