ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 585 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях x выполняется равенство:

а) 2^x+4 = 64,
2^x · 2³ = 64,
(2^x)³ = 64;

б) 10^3x+1 = 10 000,
10^x · 10^x+1 = 100 000,
(10^x + 1)² = 1 000 000.

а)
2^x+4 = 64 ⇒ 2^x+4 = 2⁶
x + 4 = 6 ⇒ x = 2;
2^x · 2³ = 64 ⇒ 2^x+3 = 2⁶
x + 3 = 6 ⇒ x = 3;
(2^x)³ = 64 ⇒ 2^3x = 2⁶
3x = 6 ⇒ x = 2.

б)
10^3x+1 = 10 000 ⇒ 10^3x+1 = 10⁴
3x + 1 = 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1;
10^x · 10^x+1 = 100 000 ⇒ 10^2x+1 = 10⁵
2x + 1 = 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2;
(10^x+1)² = 1 000 000 ⇒ 10^2x+2 = 10⁶
2x + 2 = 6 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

Найдём все значения x, при которых выполняются заданные степенные равенства.

а) Подзадачи с основанием 2:

1. \(2^{x+4} = 64\).
Так как \(64 = 2^6\), получаем
\(2^{x+4} = 2^6 \;\Rightarrow\; x + 4 = 6 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2}.\)

2. \(2^x \cdot 2^3 = 64\).
По свойству произведения:
\(2^{x+3} = 64 = 2^6 \;\Rightarrow\; x + 3 = 6 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 3}.\)

3. \((2^x)^3 = 64\).
По свойству степени степени:
\(2^{3x} = 64 = 2^6 \;\Rightarrow\; 3x = 6 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2}.\)

б) Подзадачи с основанием 10:

1. \(10^{3x+1} = 10\,000\).
Замечаем, что \(10\,000 = 10^4\), значит
\(10^{3x+1} = 10^4 \;\Rightarrow\; 3x + 1 = 4 \;\Rightarrow\; 3x = 3 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 1}.\)

2. \(10^x \cdot 10^{x+1} = 100\,000\).
Тогда
\(10^{x + (x+1)} = 10^{2x+1} = 100\,000 = 10^5 \;\Rightarrow\; 2x + 1 = 5 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2}.\)

3. \(\bigl(10^{x+1}\bigr)^2 = 1\,000\,000\).
По свойству степени:
\(10^{2(x+1)} = 10^{2x+2} = 1\,000\,000 = 10^6 \;\Rightarrow\; 2x + 2 = 6 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2}.\)