ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 584 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде степени:

а) \( 4^{2k} \cdot 8^k \);

б) \( 6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} \);

в) \( 27^{k+1} \cdot 9^{k-1} \);

г) \( 10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k} \);

а) \( 4^{2k} \cdot 8^k = (2^2)^{2k} \cdot (2^3)^k = 2^{4k} \cdot 2^{3k} = 2^{7k} \)

б) \( 6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = (2 \cdot 3)^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = 2^{k-1} \cdot 3^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = 2^{2k} \cdot 3^{2k} = (2 \cdot 3)^{2k} = 6^{2k} \)

в) \( 27^{k+1} \cdot 9^{k-1} = (3^3)^{k+1} \cdot (3^2)^{k-1} = 3^{3k+3} \cdot 3^{2k-2} = 3^{5k+1} \)

г) \( 10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k} = (2 \cdot 5)^k \cdot (5^2)^k \cdot (2^2)^k = 2^k \cdot 5^k \cdot 5^{2k} \cdot 2^{2k} = 2^{k+2k} \cdot 5^{k+2k} = 2^{3k} \cdot 5^{3k} = (2 \cdot 5)^{3k} = 10^{3k} \)

а) \( 4^{2k} \cdot 8^k = (2^2)^{2k} \cdot (2^3)^k = 2^{4k} \cdot 2^{3k} = 2^{4k+3k} = 2^{7k} \)

Пояснение: \( 4 = 2^2 \), значит \( 4^{2k} = (2^2)^{2k} = 2^{4k} \).
\( 8 = 2^3 \), значит \( 8^k = (2^3)^k = 2^{3k} \).
Теперь \( 2^{4k} \cdot 2^{3k} = 2^{4k+3k} = 2^{7k} \).

б) \( 6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = (2 \cdot 3)^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} \)
\( = 2^{k-1} \cdot 3^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1} \)
\( = 2^{k-1+k+1} \cdot 3^{k-1+k+1} = 2^{2k} \cdot 3^{2k} = (2 \cdot 3)^{2k} = 6^{2k} \)

Пояснение: \( 6^{k-1} = (2 \cdot 3)^{k-1} = 2^{k-1} \cdot 3^{k-1} \).
Собираем все степени по основанию и складываем показатели:
\( 2^{k-1} \cdot 2^{k+1} = 2^{(k-1)+(k+1)} = 2^{2k} \),
\( 3^{k-1} \cdot 3^{k+1} = 3^{(k-1)+(k+1)} = 3^{2k} \).
Объединяем: \( 2^{2k} \cdot 3^{2k} = (2 \cdot 3)^{2k} = 6^{2k} \).

в) \( 27^{k+1} \cdot 9^{k-1} = (3^3)^{k+1} \cdot (3^2)^{k-1} = 3^{3(k+1)} \cdot 3^{2(k-1)} = 3^{3k+3} \cdot 3^{2k-2} = 3^{(3k+3)+(2k-2)} = 3^{5k+1} \)

Пояснение: \( 27 = 3^3 \), значит \( 27^{k+1} = (3^3)^{k+1} = 3^{3(k+1)} = 3^{3k+3} \).
\( 9 = 3^2 \), значит \( 9^{k-1} = (3^2)^{k-1} = 3^{2(k-1)} = 3^{2k-2} \).
Суммируем показатели: \( 3^{3k+3} \cdot 3^{2k-2} = 3^{3k+3+2k-2} = 3^{5k+1} \).

г) \( 10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k} = (2 \cdot 5)^k \cdot (5^2)^k \cdot (2^2)^k = 2^k \cdot 5^k \cdot 5^{2k} \cdot 2^{2k} \)

\( = 2^{k+2k} \cdot 5^{k+2k} = 2^{3k} \cdot 5^{3k} = (2 \cdot 5)^{3k} = 10^{3k} \)

Пояснение: \( 10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k \),
\( 25^k = (5^2)^k = 5^{2k} \),
\( 2^{2k} \) остается.
Собираем степени: \( 2^k \cdot 2^{2k} = 2^{3k} \), \( 5^k \cdot 5^{2k} = 5^{3k} \).
Объединяем: \( 2^{3k} \cdot 5^{3k} = (2 \cdot 5)^{3k} = 10^{3k} \).