ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 581 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:

а) \( 0,25^{40} \cdot 4^{42} \);

б) \( 2^{100} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{103} \);

в) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{50} \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^{49} \);

г) \( \left( -\frac{2}{3} \right)^{24} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{23} \).

а) \( 0{,}25^{40} \cdot 4^{42} = 0{,}25^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2 = (0{,}25 \cdot 4)^{40} \cdot 4^2 = 1^{40} \cdot 16 = 1 \cdot 16 = 16 \)

б) \( 2^{100} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{103} = 2^{100} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{100} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \right)^{100} \cdot \frac{1}{8} = 1^{100} \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)

в) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{50} \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^{49} = \left( \frac{3}{4} \right)^{49} \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^{49} \cdot \frac{3}{4} = \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \right)^{49} \cdot \frac{3}{4} = 1^{49} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \)

г) \( \left( -\frac{2}{3} \right)^{24} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{23} = \left( \frac{2}{3} \right)^{24} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{23} = \left( \frac{2}{3} \right)^{23} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{23} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \right)^{23} \cdot \frac{2}{3} = 1^{23} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \)

а) \( 0{,}25^{40} \cdot 4^{42} = 0{,}25^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2 = (0{,}25 \cdot 4)^{40} \cdot 4^2 = 1^{40} \cdot 16 = 1 \cdot 16 = 16 \)

\( 0{,}25 = \frac{1}{4} \), значит \( 0{,}25^{40} = \left(\frac{1}{4}\right)^{40} \).
\( 4^{40} \) остается без изменений, а \( 4^2 = 16 \).
Объединяем: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{40} \cdot 4^{40} = \frac{1^{40}}{4^{40}} \cdot 4^{40} = 1 \).
Итог: \( 1 \cdot 16 = 16 \).

б) \( 2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{103} = 2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)^{100} \cdot \frac{1}{8} = 1^{100} \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{103} = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \).
\( 2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{100} = \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)^{100} = 1^{100} = 1 \).
\( 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).

в) \( \left(\frac{3}{4}\right)^{50} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49} = \left(\frac{3}{4}\right)^{49} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49} \cdot \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\right)^{49} \cdot \frac{3}{4} = 1^{49} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \)

Разделим показатели степеней: \( \left(\frac{3}{4}\right)^{50} = \left(\frac{3}{4}\right)^{49} \cdot \frac{3}{4} \).
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{49} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49} = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\right)^{49} = 1^{49} = 1 \).
Итого: \( 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \).

г) \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23} = \left(\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{24} = \left(\frac{2}{3}\right)^{23} \cdot \frac{2}{3} \).
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{23} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23} = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\right)^{23} = 1^{23} = 1 \).
Итого: \( 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \).