ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 564 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
При каком значении \( k \) верно равенство:
а) \( y^k \cdot y^2 = y^{12},\; (y^k)^2 = y^{12}; \)
б) \( (a^k)^5 = a^{20},\; a^5 \cdot a^k = a^{20}? \)
а) Решим уравнение \( y^k \cdot y^2 = y^{12} \). По свойству умножения степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( y^{k+2} = y^{12} \). Приравниваем показатели: \( k+2=12 \), откуда \( k=10 \).
Для уравнения \( (y^k)^2 = y^{12} \) используется свойство возведения степени в степень: \( (y^k)^2 = y^{2k} \). Приравниваем показатели: \( 2k=12 \), откуда \( k=6 \).
б) Решим уравнение \( (a^k)^5 = a^{20} \). По свойству степеней: \( (a^k)^5 = a^{5k} \). Приравниваем показатели: \( 5k=20 \), откуда \( k=4 \).
Для уравнения \( a^5 \cdot a^k = a^{20} \) по правилу умножения степеней: \( a^{5+k} = a^{20} \), отсюда \( 5+k=20 \), значит \( k=15 \).
а) Для первого уравнения \( y^k \cdot y^2 = y^{12} \) используем правило: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, то есть \( y^k \cdot y^2 = y^{k+2} \). Чтобы выражение равнялось \( y^{12} \), требуется равенство показателей: \( k+2 = 12 \). Решая это простое линейное уравнение, вычтем 2 из обеих частей: \( k = 12 — 2 \), получаем \( k = 10 \). Таким образом, только при \( k = 10 \) выполняется равенство \( y^k \cdot y^2 = y^{12} \).
Рассмотрим второе уравнение \( (y^k)^2 = y^{12} \). Здесь используется свойство возведения степени в степень: показатели перемножаются, то есть \( (y^k)^2 = y^{k \cdot 2} = y^{2k} \). Приравниваем показатели: \( 2k = 12 \). Чтобы найти \( k \), делим обе части на 2: \( k = 12 / 2 = 6 \). Следовательно, при \( k = 6 \) выполняется равенство \( (y^k)^2 = y^{12} \).
б) Для уравнения \( (a^k)^5 = a^{20} \) опять используем правило степени степени: \( (a^k)^5 = a^{k \cdot 5} = a^{5k} \). Чтобы это выражение было равно \( a^{20} \), приравниваем показатели: \( 5k = 20 \). Для нахождения \( k \) делим обе стороны на 5: \( k = 20 / 5 = 4 \). То есть, при \( k = 4 \) выполняется равенство \( (a^k)^5 = a^{20} \).
Для уравнения \( a^5 \cdot a^k = a^{20} \) используем правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, то есть \( a^5 \cdot a^k = a^{5+k} \). Чтобы результат был равен \( a^{20} \), приравниваем показатели: \( 5 + k = 20 \). Чтобы найти \( k \), вычитаем 5 из обеих сторон: \( k = 20 — 5 = 15 \). Таким образом, только при \( k = 15 \) верно равенство \( a^5 \cdot a^k = a^{20} \).
В каждом случае для поиска значения \( k \) подробно используются основные свойства степеней: сложение и умножение показателей для одинаковых оснований.
