ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 548 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:

а) \( \frac{5^7}{25 \cdot 125^2} \);

б) \( \frac{64 \cdot 32}{2^{10}} \);

в) \( \frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} \).

а) \( \frac{5^7}{25 \cdot 125^2} = \frac{5^7}{5^2 \cdot 5^6} = \frac{5^7}{5^8} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

б) \( \frac{64 \cdot 32}{2^{10}} = \frac{2^6 \cdot 2^5}{2^{10}} = \frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{1} = 2 \)

в) \( \frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} = \frac{2^4 \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^6} = \frac{3^6}{3^4} \cdot \frac{2^4}{2^6} = 3^{2} \cdot 2^{-2} = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \)

а) \( \frac{5^7}{25 \cdot 125^2} \)

Запишем все числа в знаменателе как степени пятёрки:

\( 25 = 5^2 \), \( 125 = 5^3 \), значит \( 125^2 = (5^3)^2 = 5^{6} \).

Теперь выражение примет вид:

\( \frac{5^7}{5^2 \cdot 5^6} = \frac{5^7}{5^{2+6}} = \frac{5^7}{5^8} \)

По правилу деления степеней вычитаем показатели:

\( 5^{7-8} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \( \frac{1}{5} \).

б) \( \frac{64 \cdot 32}{2^{10}} \)

Запишем 64 и 32 как степени двойки:

\( 64 = 2^6 \), \( 32 = 2^5 \).

Подставим в выражение:

\( \frac{2^6 \cdot 2^5}{2^{10}} \)

В числителе складываем показатели: \( 2^6 \cdot 2^5 = 2^{11} \).

Теперь делим степени: \( \frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{11-10} = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

в) \( \frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} \)

Запишем 16 и 81 как степени:

\( 16 = 2^4 \), \( 81 = 3^4 \).

Подставим в выражение:

\( \frac{2^4 \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^6} \)

Разделим степени по каждому основанию:

\( \frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \)

\( \frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2 = 9 \)

Перемножаем результаты: \( 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)

Ответ: \( \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \).