ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 415 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите целые корни уравнения (x — 1)2 + х2 = 25.

\( (x — 1)^2 + x^2 = 25 \)

Два числа, следующих друг за другом, в квадрате равны 25, значит, \( 9 + 16 = 25 \); \( 3^2 + 4^2 = 25 \). Это числа 3 и 4 или -4 и (-3).

Следовательно, \( x = 4 \) или \( x = -3 \).

Ответ: \( x = -3 \); \( x = 4 \).

\( (x — 1)^2 + x^2 = 25 \)

Нам нужно найти два последовательных числа, таких что их квадраты в сумме равны 25. Это означает, что одно число \( x — 1 \) и следующее за ним \( x \) должны удовлетворять уравнению \( (x — 1)^2 + x^2 = 25 \).

Для начала раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
(x — 1)^2 + x^2 = 25
\]

Раскроем скобки в первом выражении:

\[
(x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1
\]

Подставим это в исходное уравнение:

\[
x^2 — 2x + 1 + x^2 = 25
\]

Объединим подобные слагаемые:

\[
2x^2 — 2x + 1 = 25
\]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения:

\[
2x^2 — 2x + 1 — 25 = 0
\]

\[
2x^2 — 2x — 24 = 0
\]

Разделим все слагаемые на 2 для упрощения уравнения:

\[
x^2 — x — 12 = 0
\]

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

Для уравнения \( x^2 — x — 12 = 0 \) коэффициенты равны: \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -12 \). Подставим их в формулу для дискриминанта:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Для нахождения этих корней используем формулу:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставим значения для \( b \), \( D \) и \( a \):

\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}
\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \( x \):

\[
x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = \frac{1 — 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\]

Таким образом, мы нашли два решения для \( x \): \( x = 4 \) и \( x = -3 \). Это означает, что два последовательных числа, которые мы ищем, могут быть \( 3 \) и \( 4 \), либо \( -4 \) и \( -3 \), так как разница между числами составляет 1, и их квадраты в сумме дают 25.

Ответ: \( x = -3 \); \( x = 4 \).