ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 293 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Исследуем 1) Выясните, делится ли сумма: любых двух последовательных натуральных чисел на 2; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5; любых шести последовательных натуральных чисел на 6.
2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Подсказка. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

1) Исследование делимости:

a) Сумма двух последовательных чисел: \( 2n \) и \( 2n + 2 \). Их сумма будет равна:

\( 2n + (2n + 2) = 2n + 2n + 2 = 4n + 2 \).

Так как сумма всегда имеет вид \( 4n + 2 \), она будет всегда нечётной, и, следовательно, не делится на 2.

б) Сумма трёх последовательных чисел: \( 2n \), \( 2n + 1 \) и \( 2n + 2 \). Их сумма будет равна:

\( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) \).

Как видно, сумма всегда делится на 3, так как она представлена как произведение числа 3 и \( (n + 1) \). Следовательно, сумма трёх последовательных чисел делится на 3.

в) Сумма четырёх последовательных чисел: \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \) и \( 2n + 3 \). Их сумма будет равна:

\( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) = 6n + 6 \).

Так как сумма представляет собой выражение \( 6n + 6 \), которое всегда делится на 2, мы можем утверждать, что сумма четырёх последовательных чисел всегда делится на 2.

г) Сумма пяти последовательных чисел: \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \), \( 2n + 3 \) и \( 2n + 4 \). Их сумма будет равна:

\( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + (2n + 4) = 6n + 10 \).

Мы видим, что эта сумма всегда делится на 5, так как выражение можно представить как произведение 5 и выражения \( (n + 2) \), то есть \( 5(n + 2) \).

д) Сумма шести последовательных чисел: \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \), \( 2n + 3 \), \( 2n + 4 \) и \( 2n + 5 \). Их сумма будет равна:

\( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + (2n + 4) + (2n + 5) = 6n + 15 \).

Это выражение всегда делится на 3, так как сумма представлена как произведение числа 3 и \( (2n + 5) \), то есть \( 3(2n + 5) \).

2) Гипотеза: На основании полученных результатов можно сформулировать гипотезу: Сумма \( k \) последовательных натуральных чисел всегда делится на \( k \), если \( k \) является чётным числом, или на 3, если \( k = 6 \). Эта закономерность верна для всех натуральных чисел.

1) Исследование делимости:

a) Рассмотрим два последовательных числа \( 2n \) и \( 2n + 2 \), где \( n \) — это переменная, определяющая первое четное число. Мы хотим исследовать, делится ли их сумма на 2:

Сумма этих двух чисел: \( 2n + (2n + 2) = 2n + 2n + 2 = 4n + 2 \).

Здесь мы видим, что выражение \( 4n + 2 \) всегда даёт нечётное число, так как оно всегда заканчивается на 2, что делает его нечётным. Поэтому сумма этих двух чисел не делится на 2.

Пример: для \( n = 1 \), получаем сумму \( 2 + 4 = 6 \), которая делится на 2. Но, в общем случае, сумма двух последовательных чисел всегда не будет делиться на 2, так как всегда будет нечётным числом, как показано выше.

б) Теперь рассмотрим сумму трёх последовательных чисел \( 2n \), \( 2n + 1 \), и \( 2n + 2 \). Мы знаем, что сумма трёх чисел:

Сумма чисел: \( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) \).

Мы видим, что сумма представлена как произведение числа 3 и выражения \( (n + 1) \), что автоматически гарантирует её делимость на 3.

Пример: для \( n = 1 \), получаем сумму \( 2 + 3 + 4 = 9 \), которая делится на 3. Это подтверждает, что сумма всегда делится на 3.

в) Теперь рассмотрим сумму четырёх последовательных чисел \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \) и \( 2n + 3 \). Их сумма:

Сумма чисел: \( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) = 6n + 6 \).

Здесь сумма \( 6n + 6 \) всегда делится на 2, так как можно выделить общий множитель 2: \( 6n + 6 = 2(3n + 3) \), что явно делится на 2.

Пример: для \( n = 1 \), получаем сумму \( 2 + 3 + 4 + 5 = 14 \), которая делится на 2. Это подтверждает, что сумма четырёх последовательных чисел всегда делится на 2.

г) Сумма пяти последовательных чисел \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \), \( 2n + 3 \) и \( 2n + 4 \). Их сумма:

Сумма чисел: \( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + (2n + 4) = 6n + 10 \).

Мы видим, что эта сумма всегда делится на 5, так как она представлена как произведение 5 и выражения \( (n + 2) \): \( 6n + 10 = 5(n + 2) \).

Пример: для \( n = 1 \), получаем сумму \( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 \), которая делится на 5. Это подтверждает, что сумма всегда делится на 5.

д) Рассмотрим сумму шести последовательных чисел \( 2n \), \( 2n + 1 \), \( 2n + 2 \), \( 2n + 3 \), \( 2n + 4 \) и \( 2n + 5 \). Их сумма:

Сумма чисел: \( 2n + (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + (2n + 4) + (2n + 5) = 6n + 15 \).

Это выражение всегда делится на 3, так как сумма представлена как произведение 3 и \( (2n + 5) \): \( 6n + 15 = 3(2n + 5) \).

Пример: для \( n = 1 \), получаем сумму \( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27 \), которая делится на 3. Это подтверждает, что сумма шести последовательных чисел всегда делится на 3.

2) Гипотеза: На основе полученных выводов можно сформулировать гипотезу:

Сумма \( k \) последовательных натуральных чисел всегда делится на \( k \), если \( k \) является чётным числом, или на 3, если \( k = 6 \).

Эта закономерность выполняется для всех натуральных чисел, и её можно доказать, используя свойства арифметической прогрессии и делимости суммы.