ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 266 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел, первое из которых равно n?

Сумма 15 последовательных чисел:

\( n + (n+1) + (n+2) + \dots + (n+14) = 15n + (1 + 2 + 3 + \dots + 14) = 15n + 105 \).

Сумма 15 последовательных чисел:

Выражение \( n + (n+1) + (n+2) + \dots + (n+14) \) представляет собой сумму 15 последовательных чисел, начиная с \( n \). Мы можем записать эту сумму как:
\[
n + (n+1) + (n+2) + \dots + (n+14).
\]
Мы видим, что \( n \) повторяется 15 раз в сумме, и в выражении можно выделить сумму чисел от 1 до 14, которая будет добавлена к \( 15n \). Это позволяет преобразовать выражение в:
\[
15n + (1 + 2 + 3 + \dots + 14).
\]

Теперь найдём сумму чисел от 1 до 14. Эта сумма является арифметической прогрессией, где первый элемент равен 1, последний — 14, а количество членов прогрессии — 14. Сумма элементов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
\[
S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2},
\]
где \( n \) — количество членов, \( a_1 \) — первый элемент, \( a_n \) — последний элемент. Подставим известные значения:
\[
S = \frac{14(1 + 14)}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105.
\]
Таким образом, сумма чисел от 1 до 14 равна 105.

Теперь мы можем подставить это значение в исходную формулу:
\[
15n + 105.
\]
Это окончательное выражение для суммы 15 последовательных чисел, начиная с \( n \).