ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать 1 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Чему вы научились

Это надо знать (основные теоретические сведения)

1. Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей. Проиллюстрируйте его на примере дробей \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{9}{22} \). Как ещё можно сравнить эти дроби?

2. Дано выражение \( \frac{a — c}{a + c} \). Запишите числовое выражение, которое получится в результате подстановки \( a = -7, c = -10 \). Прокомментируйте свои действия.

3. Что означает выражение \( a^n, где n \) — натуральное число? (Рассмотрите случай, когда \( n \neq 1 \) и \( n = 1 \).) Как называют выражение \( a^n \) числа \( a \)?

4. Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием? Приведите примеры.

5. Что означает запись \( 10^{-7} \)? Запишите с отрицательным показателем степени выражение \( 10^7 \).

6. Какие статистические характеристики вы знаете? Что называется средним арифметическим нескольких чисел? Приведите пример ситуации, в которой вычисляется среднее арифметическое.

№1

Перекрёстное правило сравнения дробей:

если \( ad > bc \), то \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \); если \( ad < bc \), то \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \);

если \( ad = bc \), то \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \);

Пример 1:

\( \frac{20}{9} > \frac{33}{22} \)

\( 20 \times 22 > 33 \times 9 \)

\( 440 > 297 \)

Ещё данные дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю или записав их в виде десятичных дробей.

№2

При \( a = -7; c = -10; \)

Вычислим \( \frac{a — c}{a + c} \):

\( \frac{-7 — (-10)}{-7 + 10} = \frac{-7 + 10}{-7 + 10} = \frac{3}{70} \)

Все содержавшиеся в выражении буквы заменили числами;

При замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки;

В числителе два минуса заменили плюсом и выполнили вычитание;

В знаменателе произведение двух отрицательных чисел;

Полученную дробь не сократили.

№3

Выражение \( a^n \) означает произведение \( n \) множителей равных \( a \).

Однако такая запись имеет смысл, если \( n \) принимается при \( n \neq 1 \). Для случая \( n = 1 \) принимается специальное соглашение, считая, что любое число в первой степени всегда равно самому числу. Например, \( a^1 = a \).

Для того чтобы вычислить выражение, нужно определить значение числа и показатель степени:

\( a = основание степени; \quad n = показатель степени. \)

№4

Степень с отрицательным основанием положительна, если показатель степени чётный, и отрицательна, если показатель степени нечётный.

Например:

\( (-3)^2 = 9 \); \( (-2)^4 = 16 \); \( (-3)^3 = -27 \); \( (-2)^5 = -32 \).

№5

Запись \( 10^{-5} \) означает какую-то либо маленькую величину.

Пример:

\( \frac{7}{10^{11}} = 7 \times 10^{-11} \).

№6

Статистические характеристики:

• среднее арифметическое;
• мода;
• размах.

Среднее арифметическое нескольких чисел — частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Среднее арифметическое вычисляется при выставлении четвёртых оценок.

№1

Перекрёстное правило сравнения дробей:

Если \( ad > bc \), то \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \); если \( ad < bc \), то \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \);

Если \( ad = bc \), то \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \);

Пример 1:

\( \frac{20}{9} > \frac{33}{22} \)

\( 20 \times 22 > 33 \times 9 \)

\( 440 > 297 \)

Таким образом, дроби \( \frac{20}{9} \) и \( \frac{33}{22} \) можно сравнить с использованием перекрёстного правила, и результат показал, что первая дробь больше. Также эти дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю или записав их в виде десятичных дробей для удобства сравнения.

№2

При \( a = -7; c = -10; \)

Вычислим выражение \( \frac{a — c}{a + c} \):

\( \frac{-7 — (-10)}{-7 + 10} = \frac{-7 + 10}{-7 + 10} = \frac{3}{70} \)

Объяснение решения:

• Все буквы в выражении были заменены соответствующими числами;
• При замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки;
• В числителе два минуса заменили плюсом и выполнили вычитание;
• В знаменателе произведение двух отрицательных чисел, что привело к положительному результату;
• Полученную дробь не сократили, так как она уже является в своей минимальной форме.

№3

Выражение \( a^n \) означает произведение \( n \) множителей равных \( a \).

Такая запись имеет смысл, если \( n \) принимается при \( n \neq 1 \). Для случая \( n = 1 \) существует специальное соглашение, которое утверждает, что любое число в первой степени всегда равно самому числу. Например, \( a^1 = a \). Это соглашение делает вычисления более удобными и понятными.

Для того чтобы вычислить выражение степени, нужно определить следующее:

• \( a \) — основание степени;
• \( n \) — показатель степени.

Если мы берем число \( a \) и возводим его в степень \( n \), то это означает умножение числа \( a \) на себя \( n \) раз. Например:

\( a^3 = a \times a \times a \), где \( a \) умножается на себя три раза.

№4

Степень с отрицательным основанием положительна, если показатель степени чётный, и отрицательна, если показатель степени нечётный.

Например:

• \( (-3)^2 = 9 \) — чётная степень, поэтому результат положительный;
• \( (-2)^4 = 16 \) — чётная степень, результат положительный;
• \( (-3)^3 = -27 \) — нечётная степень, результат отрицательный;
• \( (-2)^5 = -32 \) — нечётная степень, результат отрицательный.

Это свойство степеней с отрицательными основаниями очень важно для понимания поведения чисел при возведении в степени.

№5

Запись \( 10^{-5} \) обозначает какую-то очень маленькую величину, выраженную через степень десяти. Это запись используется для удобства представления очень маленьких чисел в научной записи.

Пример:

\( \frac{7}{10^{11}} = 7 \times 10^{-11} \).

Здесь \( 10^{-11} \) означает, что число очень маленькое, и оно расположено в диапазоне от 0 до 1, но с очень большим показателем отрицательной степени. Такая запись удобна для работы с крайне малыми величинами.

№6

Статистические характеристики:

• Среднее арифметическое;
• Мода;
• Размах.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. То есть среднее арифметическое используется для нахождения «среднего» значения в наборе данных, чтобы оценить тенденцию чисел в выборке.

Среднее арифметическое вычисляется по формуле:

\( M = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \),

где \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — это сами числа, а \( n \) — их количество.

Среднее арифметическое используется в статистике для вывода обобщающих характеристик выборок и является одной из самых распространённых статистических характеристик.