ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 676 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Рассмотрите рисунок 8.16.
1) Найдите длину дуги окружности, выделенной зелёным цветом. Ответ округлите до десятых долей сантиметра.
2) Найдите площадь закрашенной части круга. Ответ округлите до десятых долей квадратного сантиметра.

1) a) Находим длину дуги полуокружности: сначала длина всей окружности \(C_{\text{окр}}=2\pi r\), затем берём половину, так как дуга — полукруг: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{2}=\pi r\). Подставляем \(r=5\): \(C_{\text{дуги}}=3{,}14\cdot5=15{,}7\ \text{см}\).

б) Дуга составляет четверть окружности (угол \(90^\circ\)), поэтому берём четверть длины окружности: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{4}\). Подставляем \(r=1\): \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot1}{4}=\frac{3{,}14}{2}=1{,}57\approx1{,}6\ \text{см}\).

в) Дуга соответствует трети окружности (угол \(120^\circ\)), значит, длина дуги — треть длины окружности: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{3}\). Подставляем \(r=3\): \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot3}{3}=\frac{18{,}84}{3}=6{,}28\approx6{,}3\ \text{см}\).

2) a) Площадь сектора, который является полуокружностью, равна половине площади круга: \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{2}\). Подставляем \(r=5\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot5^{2}}{2}=\frac{3{,}14\cdot25}{2}=1{,}57\cdot25=39{,}25\approx39{,}3\ \text{см}^{2}\).

б) Сектор с углом \(90^\circ\) — это четверть круга, поэтому площадь: \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{4}\). При \(r=1\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot1^{2}}{4}=\frac{3{,}14}{4}=0{,}785\approx0{,}8\ \text{см}^{2}\).

в) Сектор с углом \(120^\circ\) составляет треть круга, значит \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{3}\). Подставляем \(r=3\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot3^{2}}{3}=\frac{3{,}14\cdot9}{3}=3{,}14\cdot3=9{,}42\approx9{,}4\ \text{см}^{2}\).

1) a) Для полуокружности длина дуги равна половине длины всей окружности. Полная длина окружности вычисляется по формуле \(C_{\text{окр}}=2\pi r\). Поскольку дана половина окружности, делим эту длину на 2: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{2}=\pi r\). Подставляем \(r=5\) и \(\pi\approx3{,}14\): \(C_{\text{дуги}}=3{,}14\cdot5=15{,}7\ \text{см}\). Здесь мы просто используем то, что полуокружность занимает \(\frac{1}{2}\) всей окружности.

б) В этом пункте дан сектор с центральным углом \(90^\circ\), то есть четверть окружности. Длина дуги сектора равна доле окружности, соответствующей углу. Так как \(90^\circ\) — это \(\frac{1}{4}\) полного угла \(360^\circ\), длина дуги равна четверти длины всей окружности. Сначала записываем формулу длины окружности \(C_{\text{окр}}=2\pi r\), затем берем четвертую часть: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{4}\). Упрощаем дробь: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{4}=\frac{\pi r}{2}\). Подставляем \(r=1\): \(C_{\text{дуги}}=\frac{3{,}14\cdot1}{2}=1{,}57\approx1{,}6\ \text{см}\). Округление производится до десятых.

в) Здесь сектор с центральным углом \(120^\circ\). Это \(\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3}\) всей окружности, значит, длина дуги равна трети длины окружности. Снова используем формулу \(C_{\text{окр}}=2\pi r\) и берем одну треть: \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\pi r}{3}\). Подставляем \(r=3\): \(C_{\text{дуги}}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot3}{3}\). Сокращаем множитель 3 в числителе и знаменателе: \(C_{\text{дуги}}=\frac{18{,}84}{3}=6{,}28\approx6{,}3\ \text{см}\). Так получаем длину дуги сектора в сантиметрах с округлением до десятых.

2) a) Площадь сектора пропорциональна его углу. Если сектор — половина окружности, то его площадь равна половине площади круга. Площадь круга с радиусом \(r\) задается формулой \(S_{\text{круга}}=\pi r^{2}\). Для полуокружности берём половину этой площади: \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{2}\). Подставляем \(r=5\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot5^{2}}{2}\). Сначала вычисляем квадрат радиуса \(5^{2}=25\), затем умножаем: \(\frac{3{,}14\cdot25}{2}=\frac{78{,}5}{2}=39{,}25\ \text{см}^{2}\). В записи приводится округление \(39{,}25\approx39{,}3\ \text{см}^{2}\), что соответствует округлению до десятых долей квадратного сантиметра.

б) В этом случае угол сектора \(90^\circ\), то есть сектор составляет четверть круга. Поэтому площадь сектора равна четверти площади круга: \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{4}\). Подставляем \(r=1\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot1^{2}}{4}=\frac{3{,}14}{4}\). Делим \(3{,}14\) на 4 и получаем \(0{,}785\ \text{см}^{2}\). Далее производится округление до одной десятой: \(0{,}785\approx0{,}8\ \text{см}^{2}\). Таким образом, площадь небольшого сектора с радиусом 1 см и углом \(90^\circ\) около \(0{,}8\ \text{см}^{2}\).

в) Здесь рассматривается сектор с углом \(120^\circ\), то есть \(\frac{1}{3}\) круга. Площадь такого сектора составляет одну треть площади круга: \(S_{\text{сектора}}=\frac{\pi r^{2}}{3}\). Подставляем \(r=3\): \(S_{\text{сектора}}=\frac{3{,}14\cdot3^{2}}{3}\). Сначала находим квадрат радиуса \(3^{2}=9\), затем умножаем \(\pi\) на 9: \(3{,}14\cdot9=28{,}26\), после чего делим на 3: \(\frac{28{,}26}{3}=9{,}42\ \text{см}^{2}\). В записи также выполнено упрощение за счёт сокращения: \(\frac{3{,}14\cdot9}{3}=3{,}14\cdot3=9{,}42\). Результат округляют до десятых: \(9{,}42\approx9{,}4\ \text{см}^{2}\). Так получают площадь сектора с радиусом 3 см и углом \(120^\circ\).