ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 675 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Рассуждаем.
Начертите две окружности радиусами, равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой? Во сколько раз площадь второго круга больше площади первого?

1) Длина второй окружности больше длины первой окружности в:
\(\frac{2 \pi r_2}{2 \pi r_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{2} = 2\) (раза).

2) Площадь второго круга больше площади первого круга в:
\(\frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4\) (раза).

Ответ: в 2 раза; в 4 раза.

1) Длина окружности вычисляется по формуле \(L = 2 \pi r\), где \(r\) — радиус окружности. Если радиус второго круга равен \(r_2 = 4\), а первого — \(r_1 = 2\), то длина второй окружности будет \(L_2 = 2 \pi r_2\), а длина первой — \(L_1 = 2 \pi r_1\). Для того чтобы узнать, во сколько раз длина второй окружности больше длины первой, нужно найти отношение \( \frac{L_2}{L_1} \). Подставляя значения, получаем \( \frac{2 \pi r_2}{2 \pi r_1} = \frac{r_2}{r_1} \). При подстановке чисел это даёт \( \frac{4}{2} = 2 \). Значит, длина второй окружности в 2 раза больше длины первой.

2) Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Для первого круга площадь равна \(S_1 = \pi r_1^2\), для второго — \(S_2 = \pi r_2^2\). Чтобы узнать, во сколько раз площадь второго круга больше площади первого, нужно найти отношение \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} \). Сокращая \(\pi\), получаем \( \frac{r_2^2}{r_1^2} \). Подставляя значения радиусов, получаем \( \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4 \). Таким образом, площадь второго круга в 4 раза больше площади первого.

3) Итоговый ответ показывает, что при увеличении радиуса круга в 2 раза длина окружности увеличивается также в 2 раза, а площадь — в 4 раза. Это связано с тем, что длина окружности зависит линейно от радиуса, а площадь — от квадрата радиуса. Поэтому при удвоении радиуса длина увеличивается в 2 раза, а площадь — в квадрате этого коэффициента, то есть в 4 раза. Ответ: в 2 раза; в 4 раза.