ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 624 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Для записи «длинных» выражений в математике часто используют многоточие. Например, выражение 1 * 2 * 3 * … * 50 означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50.
Запишите в виде математического выражения:
а) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100;
б) произведение всех натуральных чисел от 1 до n;
в) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200;
г) сумму всех натуральных чисел от 1 до n.

Решение:

а) Произведение всех натуральных чисел от 1 до 100:
1 × 2 × 3 × … × 100.

б) Произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
1 × 2 × 3 × … × n.

в) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 200:
1 + 2 + 3 + … + 200.

г) Сумма всех натуральных чисел от 1 до n:
1 + 2 + 3 + … + n.

а) Выражение \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100\) представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 100. Это называется факториалом числа 100 и обозначается как \(100!\). Факториал числа \(n\) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до \(n\), то есть \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\). Факториалы широко применяются в комбинаторике, теории вероятностей и анализе для подсчёта количества перестановок и комбинаций.

б) Аналогично, произведение \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\) — это факториал числа \(n\), записываемый как \(n!\). Здесь \(n\) — произвольное натуральное число, и факториал показывает, сколько существует способов упорядочить \(n\) различных объектов. Например, если \(n = 5\), тогда \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\), что означает, что 5 объектов можно переставить 120 способами. Факториал растёт очень быстро с увеличением \(n\).

в) Сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 200\) — это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\), последним членом \(a_{200} = 200\) и количеством членов \(n = 200\). Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\). В данном случае сумма равна \(S_{200} = \frac{200(1 + 200)}{2} = 100 \cdot 201 = 20100\). Такая формула позволяет быстро находить сумму больших последовательностей чисел без необходимости их прямого сложения.

г) Сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\) — это общая формула для суммы первых \(n\) натуральных чисел. Она также является суммой арифметической прогрессии с первым членом 1 и последним членом \(n\). Формула для суммы первых \(n\) чисел имеет вид \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\). Эта формула часто используется в задачах на сумму последовательностей, а также в различных областях математики и физики, где необходимо быстро вычислить сумму натуральных чисел до \(n\).