ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 52 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

а) \( 1 \frac{1}{5} + \frac{5}{9} + \frac{4}{5} + \frac{4}{9} \)

б) \( \frac{2}{11} + \frac{3}{8} + \frac{4}{11} + \frac{6}{11} + \frac{5}{8} \)

в) \( \frac{7}{27} \times 10 + 8 \times \frac{2}{27} \)

г) \( \frac{11}{36} \times 17 — 5 \times \frac{11}{36} \)

а) Сгруппируем: \(\left(1\frac15+\frac45\right)+\left(\frac59+\frac49\right)\). Получаем: \(\left(1+\frac15+\frac45\right)+\left(\frac59+\frac49\right)= (1+1)+1=3\).

б) Сгруппируем: \(\left(\frac2{11}+\frac4{11}+\frac6{11}\right)+\left(\frac38+\frac58\right)\). Тогда: \(\frac{2+4+6}{11}+\frac{3+5}{8}=\frac{12}{11}+\frac88=1\frac1{11}+1=2\frac1{11}\).

в) Вынесем общий множитель: \(\frac7{27}\cdot10+8\cdot\frac7{27}=\frac7{27}(10+8)=\frac7{27}\cdot18=\frac{7\cdot18}{27}=\frac{126}{27}=\frac{14}{3}=4\frac23\).

г) Вынесем общий множитель: \(\frac{11}{36}\cdot17-5\cdot\frac{11}{36}=\frac{11}{36}(17-5)=\frac{11}{36}\cdot12=\frac{11\cdot12}{36}=\frac{132}{36}=\frac{11}{3}=3\frac23\).

а) Рассмотрим выражение \(1\frac15+\frac59+\frac45+\frac49\). Замечаем, что удобно сгруппировать дроби так, чтобы получались целые числа. Разобьём сумму на две группы: \(\left(1\frac15+\frac45\right)+\left(\frac59+\frac49\right)\). Теперь подробно упростим каждую группу. В первой группе смешанное число \(1\frac15\) представим как сумму целой и дробной части: \(1\frac15 = 1+\frac15\). Тогда первая группа превращается в \(1+\frac15+\frac45\). Складываем дроби с одинаковым знаменателем 5: \(\frac15+\frac45=\frac{1+4}{5}=\frac55=1\). Значит, первая группа равна \(1+1=2\). Вторая группа \(\frac59+\frac49\) имеет общий знаменатель 9, складываем числители: \(\frac59+\frac49=\frac{5+4}{9}=\frac99=1\). Таким образом, всё выражение равно \(2+1=3\). Заметим, что ключевая идея решения — подобрать такие пары дробей, чтобы их сумма давала целое число, поэтому вычисления становятся проще и выполняются устно.

б) Рассмотрим выражение \(\frac2{11}+\frac38+\frac4{11}+\frac6{11}+\frac58\). Удобно отдельно сгруппировать дроби со знаменателем 11 и отдельно со знаменателем 8, чтобы проще складывать. Переставляя слагаемые (это можно делать, потому что сложение коммутативно и ассоциативно), получаем: \(\left(\frac2{11}+\frac4{11}+\frac6{11}\right)+\left(\frac38+\frac58\right)\). Сначала работаем с первой группой. У всех дробей знаменатель 11, поэтому складываем числители: \(\frac2{11}+\frac4{11}+\frac6{11}=\frac{2+4+6}{11}=\frac{12}{11}\). Дробь \(\frac{12}{11}\) неправильная, так как числитель больше знаменателя, поэтому выделим целую часть: \(12=11+1\), значит, \(\frac{12}{11}=1\frac1{11}\). Теперь рассмотрим вторую группу: \(\frac38+\frac58\). Знаменатель общий и равен 8, поэтому складываем числители: \(\frac38+\frac58=\frac{3+5}{8}=\frac88=1\). Итак, исходная сумма равна \(1\frac1{11}+1\). Складывая целые части, получаем \(1+1=2\), дробная часть остаётся \(\frac1{11}\). В итоге получаем результат \(2\frac1{11}\). Здесь ключевой приём — сначала объединить дроби с одинаковыми знаменателями и привести неправильную дробь к смешанному числу, что делает результат более наглядным.

в) Рассмотрим выражение \(\frac7{27}\cdot10+8\cdot\frac7{27}\). Замечаем, что в обоих произведениях присутствует общий множитель \(\frac7{27}\). Используем свойство распределительности умножения относительно сложения: \(a\cdot b + a\cdot c = a\cdot(b+c)\). Здесь роль \(a\) играет \(\frac7{27}\), роль \(b\) — число 10, а роль \(c\) — число 8. Тогда перепишем выражение как \(\frac7{27}\cdot10+8\cdot\frac7{27}=\frac7{27}(10+8)\). В скобках складываем обычные целые числа: \(10+8=18\), получаем \(\frac7{27}\cdot18\). Теперь умножаем дробь на целое число: \(18\) можно записать как \(\frac{18}{1}\), тогда произведение равно \(\frac7{27}\cdot\frac{18}{1}=\frac{7\cdot18}{27}\). Вычисляем числитель: \(7\cdot18=126\), получаем дробь \(\frac{126}{27}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: \(\frac{126}{27}=\frac{14}{3}\), так как \(126:9=14\), \(27:9=3\). Далее выделяем целую часть: делим 14 на 3, получаем \(14=4\cdot3+2\), значит, \(\frac{14}{3}=4\frac23\). Таким образом, результат равен \(4\frac23\). В этом примере главное упрощение достигается за счёт вынесения общего множителя и последующего упрощения дроби.

г) Рассмотрим выражение \(\frac{11}{36}\cdot17-5\cdot\frac{11}{36}\). Здесь тоже заметим общий множитель \(\frac{11}{36}\) в обоих произведениях. Используем распределительное свойство, но уже для разности: \(a\cdot b — a\cdot c = a\cdot(b-c)\). В нашем случае \(a=\frac{11}{36}\), \(b=17\), \(c=5\). Переписываем выражение: \(\frac{11}{36}\cdot17-5\cdot\frac{11}{36}=\frac{11}{36}(17-5)\). Сначала вычислим разность в скобках: \(17-5=12\). Получаем выражение \(\frac{11}{36}\cdot12\). Число 12 удобно рассматривать как \(\frac{12}{1}\), тогда произведение равно \(\frac{11}{36}\cdot\frac{12}{1}=\frac{11\cdot12}{36}\). Вычисляем числитель: \(11\cdot12=132\), получаем дробь \(\frac{132}{36}\). Сократим её, разделив числитель и знаменатель на 12: \(132:12=11\), \(36:12=3\), значит, \(\frac{132}{36}=\frac{11}{3}\). Теперь выделим целую часть: делим 11 на 3, получаем \(11=3\cdot3+2\), значит, \(\frac{11}{3}=3\frac23\). Следовательно, значение исходного выражения равно \(3\frac23\). В этом задании удобно сначала вынести общий множитель, а затем последовательно упростить образовавшуюся дробь до смешанного числа.