ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 270 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

270 Представьте дроби в виде десятичных дробей, если это возможно: \(\frac{4}{5}\), \(\frac{3}{75}\), \(\frac{7}{20}\), \(\frac{14}{21}\), \(\frac{3}{4}\)

\( \frac{4}{5}=\frac{8}{10}=0,8.\)

\( \frac{3}{75}=\frac{1}{25}=\frac{4}{100}=0,04.\)

\( \frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0,35.\)

\( \frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) — невозможно представить в виде десятичной дроби.

\( \frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75.\)

Сначала рассмотрим дробь \( \frac{4}{5} \). Чтобы представить её в виде десятичной дроби, нужно получить знаменатель равным \(10\), \(100\), \(1000\) и т.д., то есть степеням числа \(10\). Замечаем, что если умножить числитель и знаменатель на \(2\), получим равную дробь: \( \frac{4}{5}=\frac{4\cdot2}{5\cdot2}=\frac{8}{10} \). Знаменатель теперь равен \(10\), поэтому можно записать десятичную дробь: одна цифра после запятой, в числителе \(8\), значит \( \frac{4}{5}=0,8 \).

Теперь дробь \( \frac{3}{75} \). Упростим её, разделив числитель и знаменатель на \(3\): \( \frac{3}{75}=\frac{1}{25} \). Далее нужно получить знаменатель, равный степени \(10\). Число \(25\) превращается в \(100\), если умножить его на \(4\): \(25\cdot4=100\). Умножаем числитель и знаменатель на \(4\): \( \frac{1}{25}=\frac{1\cdot4}{25\cdot4}=\frac{4}{100} \). Знаменатель \(100\) даёт нам две цифры после запятой, поэтому \( \frac{4}{100}=0,04 \). Значит, \( \frac{3}{75}=0,04 \).

Рассмотрим дробь \( \frac{7}{20} \). Знаменатель \(20\) нужно превратить в степень числа \(10\). Если умножить \(20\) на \(5\), получится \(100\): \(20\cdot5=100\). Умножаем числитель и знаменатель на \(5\): \( \frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100} \). Поскольку знаменатель \(100\), в десятичной записи будет две цифры после запятой, а числитель \(35\), значит \( \frac{35}{100}=0,35 \). Следовательно, \( \frac{7}{20}=0,35 \).

Теперь дробь \( \frac{14}{21} \). Сначала сократим её: числитель и знаменатель делим на \(7\): \( \frac{14}{21}=\frac{14\div7}{21\div7}=\frac{2}{3} \). Чтобы представить дробь в виде конечной десятичной, после сокращения в её знаменателе должны остаться только простые множители \(2\) и \(5\), поскольку любое число вида \(10^{n}\) разлагается на множители \(2^{n}\) и \(5^{n}\). В знаменателе дроби \( \frac{2}{3} \) находится число \(3\), которого нельзя разложить только на \(2\) и \(5\). Это означает, что при делении \(2\) на \(3\) получится бесконечная десятичная дробь \(0,666\ldots\), поэтому сказано, что дробь \( \frac{14}{21}=\frac{2}{3} \) невозможно представить в виде конечной десятичной дроби.

Наконец, дробь \( \frac{3}{4} \). Чтобы получить знаменатель, равный степени \(10\), заметим, что \(4\cdot25=100\). Умножаем числитель и знаменатель на \(25\): \( \frac{3}{4}=\frac{3\cdot25}{4\cdot25}=\frac{75}{100} \). Знаменатель \(100\) означает две цифры после запятой. Числитель \(75\), значит десятичная запись равна \(0,75\). Таким образом, \( \frac{3}{4}=0,75 \).