ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 265 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Ищем закономерность
1) Вычислите суммы:
0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,9;
0,01 + 0,02 + 0,03 + … + 0,09;
0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,009.
2) Запишите следующую сумму. Догадайтесь, чему равно её значение, и проверьте себя с помощью вычислений.
3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы
0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + … + 0,000009.

1) Складываем попарно первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д.:
\(0,1+0,9=1\), \(0,2+0,8=1\), \(0,3+0,7=1\), \(0,4+0,6=1\) и остаётся \(0,5\).
Получаем \(1+1+1+1+0,5=4,5\).
Аналогично, сдвигая запятую на один знак вправо, получаем суммы
\(0,01+0,02+…+0,09=0,45\) и \(0,001+0,002+…+0,009=0,045\).

2) Следующая по образцу сумма:
\(0,0001+0,0002+0,0003+…+0,0009\).
Это та же закономерность, сумма уменьшается в 10 раз каждый раз при сдвиге запятой, поэтому
\(0,0001+0,0002+…+0,0009=0,0045\).

3) Ещё один сдвиг запятой вправо даёт сумму
\(0,000001+0,000002+0,000003+…+0,000009=0,000045\).

1) Рассмотрим сначала сумму десятичных дробей от \(0,1\) до \(0,9\): \(0,1+0,2+0,3+…+0,9\). Удобно сгруппировать слагаемые попарно: первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. Тогда имеем пары: \(0,1+0,9\), \(0,2+0,8\), \(0,3+0,7\), \(0,4+0,6\), а число \(0,5\) остаётся без пары. Каждая из первых четырёх пар даёт одинаковую сумму: \(0,1+0,9=1\), \(0,2+0,8=1\), \(0,3+0,7=1\), \(0,4+0,6=1\). Значит, получаем \(1+1+1+1+0,5\). Складывая, получаем \(4+0,5=4,5\). Таким образом, сумма \(0,1+0,2+0,3+…+0,9\) равна \(4,5\).

Теперь рассмотрим следующую сумму: \(0,01+0,02+0,03+…+0,09\). Она устроена точно так же, только каждая дробь в десять раз меньше соответствующей дроби из первой суммы, то есть здесь как бы те же числа, но сдвинутые запятой на один знак вправо. Повторим тот же приём группировки: \((0,01+0,09)\), \((0,02+0,08)\), \((0,03+0,07)\), \((0,04+0,06)\) и отдельно \(0,05\). Каждая пара даёт \(0,1\): \(0,01+0,09=0,1\), \(0,02+0,08=0,1\), \(0,03+0,07=0,1\), \(0,04+0,06=0,1\). Тогда сумма равна \(0,1+0,1+0,1+0,1+0,05\). Складываем: сначала \(0,1+0,1+0,1+0,1=0,4\), затем добавляем \(0,05\), получаем \(0,4+0,05=0,45\). Значит, \(0,01+0,02+0,03+…+0,09=0,45\).

Третья сумма устроена аналогично: \(0,001+0,002+0,003+…+0,009\). Здесь каждая дробь в десять раз меньше соответствующей из предыдущей строки, то есть снова тот же набор чисел, но запятая сдвинута ещё на один знак вправо. Опять группируем слагаемые: \((0,001+0,009)\), \((0,002+0,008)\), \((0,003+0,007)\), \((0,004+0,006)\) и отдельно \(0,005\). Каждая пара теперь равна \(0,01\): \(0,001+0,009=0,01\), \(0,002+0,008=0,01\), \(0,003+0,007=0,01\), \(0,004+0,006=0,01\). В сумме имеем \(0,01+0,01+0,01+0,01+0,005\). Складываем: \(0,01+0,01+0,01+0,01=0,04\), затем \(0,04+0,005=0,045\). Следовательно, \(0,001+0,002+0,003+…+0,009=0,045\).

2) На основании полученных трёх примеров можно увидеть закономерность: при каждом переходе к следующей строке все слагаемые уменьшаются в 10 раз (запятая сдвигается на одно место вправо), и вся сумма тоже уменьшается в 10 раз. Было \(4,5\), стало \(0,45\), затем \(0,045\). Следующая по этому образцу сумма должна начинаться с \(0,0001\) и заканчиваться \(0,0009\): \(0,0001+0,0002+0,0003+…+0,0009\). Если следовать закономерности, её значение должно быть в 10 раз меньше предыдущего результата \(0,045\). Делим \(0,045\) на \(10\) и получаем \(0,0045\).

Чтобы убедиться вычислительно, снова сгруппируем слагаемые попарно: \((0,0001+0,0009)\), \((0,0002+0,0008)\), \((0,0003+0,0007)\), \((0,0004+0,0006)\) и отдельно \(0,0005\). Каждая пара даёт \(0,001\): \(0,0001+0,0009=0,001\), \(0,0002+0,0008=0,001\), \(0,0003+0,0007=0,001\), \(0,0004+0,0006=0,001\). Тогда вся сумма равна \(0,001+0,001+0,001+0,001+0,0005\). Складывая четыре раза по \(0,001\), получаем \(0,004\), затем \(0,004+0,0005=0,0045\). Таким образом, вычисление подтверждает догадку: \(0,0001+0,0002+0,0003+…+0,0009=0,0045\).

3) Теперь используем ту же закономерность ещё раз. Новая сумма: \(0,000001+0,000002+0,000003+…+0,000009\). Она получается из предыдущей суммы \(0,0001+0,0002+…+0,0009\) тем, что каждая дробь уменьшена в 100 раз? Нет, именно в 1000 раз? Проверим: \(0,0001\) превращается в \(0,000001\), то есть запятая сдвигается вправо на два знака, значит, уменьшение в \(10^{2}=100\) раз. Но нам важен не сам коэффициент, а то, что все слагаемые снова уменьшены одинаково, поэтому и сумма уменьшится во столько же раз. Можно заметить и иначе: каждый раз, когда мы сдвигаем запятую на один знак вправо, сумма уменьшается в 10 раз. В первой тройке примеров каждый переход давал уменьшение в 10 раз: из \(4,5\) получили \(0,45\), затем \(0,045\). Потом, перейдя к сумме с \(0,0001\), мы снова уменьшили все слагаемые в 10 раз и получили сумму \(0,0045\).

Теперь делаем ещё один такой же шаг: переход от суммы \(0,0001+0,0002+…+0,0009\) к сумме \(0,000001+0,000002+…+0,000009\) означает, что каждое слагаемое уменьшается в 10 раз, значит, и сумма уменьшится в 10 раз. Берём известное значение предыдущей суммы \(0,0045\) и делим на \(10\): получаем \(0,00045\). Значит, не выполняя по отдельности все сложения, можно сразу записать результат: \(0,000001+0,000002+0,000003+…+0,000009=0,000045\).