Учебник по математике для 6-го класса авторов Дорофеева и Шарыгина — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.
Что выделяет этот учебник среди других:
- Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
- Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
- Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
- Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
- Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 265 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы
Ищем закономерность
1) Вычислите суммы:
0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,9;
0,01 + 0,02 + 0,03 + … + 0,09;
0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,009.
2) Запишите следующую сумму. Догадайтесь, чему равно её значение, и проверьте себя с помощью вычислений.
3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы
0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + … + 0,000009.
Ищем закономерность
1) Вычислите суммы:
0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,9
Это сумма десятичных дробей с шагом 0,1, от 0,1 до 0,9 (9 слагаемых).
Сложим:
0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9.
Воспользуемся свойством суммы арифметической прогрессии: сумма равна среднему арифметическому первого и последнего члена, умноженному на количество слагаемых.
Среднее: (0,1 + 0,9) / 2 = 1,0 / 2 = 0,5.
Количество слагаемых: 9.
Сумма = 0,5 × 9 = 4,5.
0,01 + 0,02 + 0,03 + … + 0,09
Здесь 9 слагаемых, с шагом 0,01, от 0,01 до 0,09.
Среднее арифметическое: (0,01 + 0,09) / 2 = 0,10 / 2 = 0,05.
Сумма = 0,05 × 9 = 0,45.
0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,009
9 слагаемых, с шагом 0,001, от 0,001 до 0,009.
Среднее арифметическое: (0,001 + 0,009) / 2 = 0,010 / 2 = 0,005.
Сумма = 0,005 × 9 = 0,045.
2) Запишите следующую сумму.
На основании предыдущих примеров можно предположить, что следующая сумма будет:
0,0001 + 0,0002 + 0,0003 + … + 0,0009.
Среднее арифметическое будет (0,0001 + 0,0009) / 2 = 0,001 / 2 = 0,0005.
Количество слагаемых 9.
Сумма равна 0,0005 × 9 = 0,0045.
Таким образом, следующая сумма равна 0,0045.
3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы
0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + … + 0,000009.
Снова 9 слагаемых, с шагом 0,000001, от 0,000001 до 0,000009.
Среднее арифметическое: (0,000001 + 0,000009) / 2 = 0,00001 / 2 = 0,000005.
Сумма = 0,000005 × 9 = 0,000045.
Ответ: 0,000045.
Вывод: При увеличении количества десятичных знаков сумма уменьшается в 10 раз, а количество слагаемых остаётся 9. Закон сохранения количества слагаемых и уменьшения величины каждого слагаемого в 10 раз даёт закономерность для быстрой оценки суммы.
Ищем закономерность
1) Вычислите суммы:
0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,9
Данная сумма состоит из десятичных дробей с равным шагом 0,1, начиная от 0,1 и заканчивая 0,9. Всего здесь 9 слагаемых.
Чтобы вычислить сумму, можно заметить, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 0,1, последний — 0,9, а разность между членами — 0,1.
Формула суммы арифметической прогрессии:
S = (a₁ + aₙ) / 2 × n,
где a₁ — первый член, aₙ — последний, n — количество слагаемых.
Подставим значения:
a₁ = 0,1, aₙ = 0,9, n = 9.
Среднее арифметическое двух крайних слагаемых: (0,1 + 0,9) / 2 = 1,0 / 2 = 0,5.
Умножим на количество слагаемых:
S = 0,5 × 9 = 4,5.
Таким образом, сумма равна 4,5.
0,01 + 0,02 + 0,03 + … + 0,09
Аналогично предыдущему примеру, здесь также 9 слагаемых, но шаг уменьшился в 10 раз и составляет 0,01.
Первый член: 0,01; последний — 0,09.
Среднее арифметическое крайних членов:
(0,01 + 0,09) / 2 = 0,10 / 2 = 0,05.
Сумма:
S = 0,05 × 9 = 0,45.
Ответ: 0,45.
0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,009
Здесь также 9 слагаемых, но теперь шаг равен 0,001.
Первый член: 0,001; последний — 0,009.
Среднее арифметическое:
(0,001 + 0,009) / 2 = 0,010 / 2 = 0,005.
Сумма:
S = 0,005 × 9 = 0,045.
Ответ: 0,045.
2) Запишите следующую сумму.
Наблюдая закономерность, можно предположить, что следующая сумма будет:
0,0001 + 0,0002 + 0,0003 + … + 0,0009.
Здесь также 9 слагаемых с шагом 0,0001.
Первый член: 0,0001; последний — 0,0009.
Среднее арифметическое:
(0,0001 + 0,0009) / 2 = 0,001 / 2 = 0,0005.
Сумма:
S = 0,0005 × 9 = 0,0045.
Это можно проверить путём сложения каждого слагаемого или используя формулу суммы арифметической прогрессии.
3) Найдите, не выполняя сложения, значение суммы:
0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + … + 0,000009.
Здесь 9 слагаемых, шаг 0,000001, первый член 0,000001, последний 0,000009.
Среднее арифметическое крайних членов:
(0,000001 + 0,000009) / 2 = 0,00001 / 2 = 0,000005.
Сумма:
S = 0,000005 × 9 = 0,000045.
Ответ: 0,000045.
Обобщение и выводы:
Во всех рассмотренных случаях количество слагаемых равно 9. Каждый раз шаг уменьшается в 10 раз, а значения слагаемых — тоже в 10 раз меньше по сравнению с предыдущим примером. Сумма при этом также уменьшается в 10 раз.
Это связано с тем, что сумма арифметической прогрессии пропорциональна среднему арифметическому её членов и количеству слагаемых.
Если количество слагаемых постоянно, а величина каждого слагаемого уменьшается в 10 раз, сумма тоже уменьшается в 10 раз.
Данная закономерность позволяет быстро оценивать суммы последовательностей с подобной структурой, не выполняя сложение каждого слагаемого по отдельности.
Такой подход полезен для быстрого счёта и проверки результатов в задачах, связанных с десятичными дробями и арифметическими последовательностями.
