ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 219 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Рассуждаем.

Докажите, что дробь \( \frac{7}{400} \) можно представить в виде десятичной, а дробь \( \frac{7}{420} \) — нет.

Рассмотрим дробь \( \frac{7}{400} \):
Знаменатель 400 раскладываем на простые множители:
400 = 4 × 100 = \( 2^2 \times 10^2 \) = \( 2^2 \times (2^2 \times 5^2) \) = \( 2^4 \times 5^2 \).
Таким образом, знаменатель содержит только простые множители 2 и 5.
Следовательно, дробь \( \frac{7}{400} \) можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Рассмотрим дробь \( \frac{7}{420} \):
Раскладываем знаменатель 420 на простые множители:
420 = 42 × 10 = (2 × 3 × 7) × (2 × 5) = \( 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \).
Знаменатель содержит простые множители 2, 3, 5 и 7.
Поскольку в знаменателе есть простые множители, отличные от 2 и 5 (а именно 3 и 7), дробь \( \frac{7}{420} \) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Рассмотрим дробь \( \frac{7}{400} \):
Для начала разложим число 400 на простые множители. Число 400 можно представить как произведение:
400 = 4 × 100.
Теперь раскладываем каждое слагаемое:
4 = 2 × 2 = \( 2^2 \);
100 = 10 × 10 = (2 × 5) × (2 × 5) = \( 2^2 \times 5^2 \).
Таким образом, полный разложенный вид числа 400 — это:
400 = \( 2^2 \times 2^2 \times 5^2 = 2^4 \times 5^2 \).
Здесь знаменатель содержит только простые множители 2 и 5, что соответствует условию для конечной десятичной дроби.
Следовательно, дробь \( \frac{7}{400} \) может быть выражена в виде конечной десятичной дроби.

Рассмотрим дробь \( \frac{7}{420} \):
Разложим число 420 на простые множители:
420 = 42 × 10.
Раскладываем каждое:
42 = 6 × 7 = (2 × 3) × 7 = 2 × 3 × 7;
10 = 2 × 5.
Следовательно, разложение числа 420 на простые множители будет:
420 = 2 × 3 × 7 × 2 × 5 = \( 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \).
Здесь присутствуют простые множители, отличные от 2 и 5 — это 3 и 7.
Из-за наличия этих дополнительных множителей дробь \( \frac{7}{420} \) не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.