ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 20 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Найдите произведение или частное:
a) \( \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{12} \)
б) \( \frac{3}{5} : \frac{11}{15} \)
в) \( \frac{9}{22} : \frac{2}{3} \)
г) \( \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{16} \)
д) \( \frac{27}{40} : \frac{18}{35} \)
е) \( \frac{8}{9} : 6 \)
ж) \( 15 \cdot \frac{5}{6} \)
з) \( 1 : \frac{3}{7} \)
и) \( \frac{2}{3} \cdot 12 \)
к) \( \frac{2}{3} : 18 \)
л) \( \frac{8}{27} \cdot 36 \)
м) \( 10 : \frac{4}{15} \)

№ 20.

a) \(\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{12}\). Перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{9\cdot5}{10\cdot12}\). Сокращаем \(9\) с \(12\) и \(5\) с \(10\): получается \(\frac{3\cdot1}{2\cdot4}=\frac{3}{8}\).

б) \(\frac{3}{5}\cdot\frac{11}{15}\). Умножаем: \(\frac{3\cdot11}{5\cdot15}\). Переставляем множители удобнее для сокращения: \(\frac{3\cdot15}{5\cdot11}\). Сокращаем \(15\) и \(5\): \(\frac{3\cdot3}{1\cdot11}=\frac{9}{11}\).

в) \(\frac{9}{22}\cdot\frac{2}{3}\). Умножаем дроби: \(\frac{9\cdot2}{22\cdot3}\). Сокращаем \(9\) с \(3\) и \(22\) с \(2\): \(\frac{3\cdot1}{11\cdot1}=\frac{3}{11}\).

г) \(\frac{7}{8}:\frac{7}{16}\). Деление заменяем умножением на обратную дробь: \(\frac{7}{8}\cdot\frac{16}{7}=\frac{7\cdot16}{8\cdot7}\). Сокращаем \(7\) и делим \(16\) на \(8\): получаем \(2\).

д) \(\frac{27}{40}:\frac{18}{35}\). Переходим к умножению: \(\frac{27}{40}\cdot\frac{35}{18}=\frac{27\cdot35}{40\cdot18}\). Сокращаем \(27\) с \(18\) и \(35\) с \(40\): \(\frac{3\cdot7}{8\cdot2}=\frac{21}{16}=1\frac{5}{16}\).

е) \(\frac{8}{9}:6\). Записываем \(6\) как \(\frac{6}{1}\): \(\frac{8}{9}:\frac{6}{1}=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{6}=\frac{8}{9\cdot6}\). Сокращаем \(8\) и \(6\): \(\frac{4}{9\cdot3}=\frac{4}{27}\).

ж) \(15\cdot\frac{5}{6}\). Умножаем: \(\frac{15\cdot5}{6}\). Сокращаем \(15\) и \(6\): \(\frac{5\cdot5}{2}=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}\).

з) \(1:\frac{3}{7}\). Заменяем деление: \(1\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{3}\). Выделяем целую часть: \(2\frac{1}{3}\).

и) \(\frac{2}{3}\cdot12\). Записываем \(12\) как \(\frac{12}{1}\): \(\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{1}=\frac{2\cdot12}{3}\). Делим \(12\) на \(3\): \(2\cdot4=8\).

к) \(\frac{2}{3}:18\). Переходим к умножению: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{18}=\frac{2}{3\cdot18}\). Сокращаем \(2\) и \(18\): получаем \(\frac{1}{3\cdot9}=\frac{1}{27}\).

л) \(\frac{8}{27}\cdot36\). Представляем \(36\) как \(\frac{36}{1}\): \(\frac{8\cdot36}{27}\). Сокращаем \(36\) и \(27\) на \(9\): \(\frac{8\cdot4}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\).

м) \(10:\frac{4}{15}\). Переходим к умножению: \(10\cdot\frac{15}{4}=\frac{10\cdot15}{4}\). Сокращаем \(10\) и \(4\): \(\frac{5\cdot15}{2}=\frac{75}{2}=37\frac{1}{2}\).

№ 20.

a) В примере a) дано произведение дробей \(\frac{9}{10}\) и \(\frac{5}{12}\). При умножении дробей числитель результата получается перемножением числителей, а знаменатель — перемножением знаменателей. Поэтому сначала записываем: \(\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{12}=\frac{9\cdot5}{10\cdot12}\). Далее сокращаем дробь: \(9\) и \(12\) делятся на \(3\), а \(5\) и \(10\) делятся на \(5\). После сокращения получаем \(\frac{3\cdot1}{2\cdot4}\). Перемножая сокращённые числители и знаменатели, имеем \(\frac{3}{8}\). Итог: \(\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{12}=\frac{3}{8}\).

б) В примере б) нужно перемножить дроби \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{11}{15}\). Пользуемся тем же правилом: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{11}{15}=\frac{3\cdot11}{5\cdot15}\). Однако в решении дробь удобно записать как \(\frac{3\cdot15}{5\cdot11}\), поскольку можно поменять местами множители без изменения результата: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{11}{15}=\frac{3\cdot15}{5\cdot11}\). Далее сокращаем \(15\) и \(5\) на \(5\), получаем \(\frac{3\cdot3}{1\cdot11}\). После перемножения числителя и знаменателя имеем \(\frac{9}{11}\). Значит, \(\frac{3}{5}\cdot\frac{11}{15}=\frac{9}{11}\).

в) В примере в) дана операция умножения дробей \(\frac{9}{22}\) и \(\frac{2}{3}\). Сначала перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{9}{22}\cdot\frac{2}{3}=\frac{9\cdot2}{22\cdot3}\). Далее замечаем, что \(9\) и \(3\) можно сократить на \(3\), а \(22\) и \(2\) сократить на \(2\). Тогда получаем \(\frac{3\cdot1}{11\cdot1}\). После перемножения остаётся \(\frac{3}{11}\). Следовательно, \(\frac{9}{22}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{11}\).

г) В примере г) выполняется деление дробей \(\frac{7}{8}:\frac{7}{16}\). Деление дроби на дробь заменяем умножением на обратную дробь: \(\frac{7}{8}:\frac{7}{16}=\frac{7}{8}\cdot\frac{16}{7}\). После этого перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{7\cdot16}{8\cdot7}\). Видно, что числитель и знаменатель содержат множитель \(7\), а также \(16\) и \(8\) можно сократить: \(16:8=2\). В результате сокращения остаётся \(2\). Значит, \(\frac{7}{8}:\frac{7}{16}=2\).

д) В примере д) рассмотрено деление дробей \(\frac{27}{40}\) и \(\frac{18}{35}\). По правилу деления дробей получаем \(\frac{27}{40}:\frac{18}{35}=\frac{27}{40}\cdot\frac{35}{18}\). Далее числители и знаменатели перемножаем: \(\frac{27\cdot35}{40\cdot18}\). Теперь сокращаем дробь: \(27\) и \(18\) делим на \(9\), \(35\) и \(40\) делим на \(5\). После сокращения имеем \(\frac{3\cdot7}{8\cdot2}\). Перемножаем: \(\frac{21}{16}\). Так как \(\frac{21}{16}\) — неправильная дробь, выделяем целую часть: \(21:16=1\) целая и остаток \(5\), то есть \(\frac{21}{16}=1\frac{5}{16}\). Следовательно, \(\frac{27}{40}:\frac{18}{35}=1\frac{5}{16}\).

е) В примере е) требуется выполнить деление \(\frac{8}{9}:6\). Число \(6\) представляем как дробь \(\frac{6}{1}\). Тогда \(\frac{8}{9}:6=\frac{8}{9}:\frac{6}{1}=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{6}\). После умножения получаем \(\frac{8\cdot1}{9\cdot6}\). Далее сокращаем: \(8\) и \(6\) делятся на \(2\), а \(9\) и \(3\) также образуют произведение, удобное для записи. В решении по шагам показывается: \(\frac{8}{9\cdot6}=\frac{4}{9\cdot3}\). После окончательного перемножения остаётся \(\frac{4}{27}\). Значит, \(\frac{8}{9}:6=\frac{4}{27}\).

ж) В примере ж) вычисляется произведение числа \(15\) и дроби \(\frac{5}{6}\). Сначала записываем \(15\cdot\frac{5}{6}=\frac{15\cdot5}{6}\), то есть переводим умножение на дробь в одну дробь, где в числителе произведение \(15\cdot5\), а в знаменателе \(6\). Далее сокращаем \(15\) и \(6\) на \(3\) или \(6\) как частично: остаётся \(\frac{5\cdot5}{2}\), так как \(15:3=5\) и \(6:3=2\). Получаем \(\frac{25}{2}\). Поскольку это неправильная дробь, выделяем целую часть: \(25:2=12\) целых и остаток \(1\), что даёт \(12\frac{1}{2}\). Следовательно, \(15\cdot\frac{5}{6}=12\frac{1}{2}\).

з) В примере з) нужно найти результат деления \(1:\frac{3}{7}\). Число \(1\) можно записать как дробь \(\frac{1}{1}\), поэтому \(1:\frac{3}{7}=\frac{1}{1}:\frac{3}{7}\). Деление заменяем умножением на обратную дробь: \(\frac{1}{1}\cdot\frac{7}{3}\). Получаем \(\frac{7}{3}\). Это неправильная дробь, поэтому выделяем целую часть: \(7:3=2\) целых и остаток \(1\), то есть \(2\frac{1}{3}\). Таким образом, \(1:\frac{3}{7}=2\frac{1}{3}\).

и) В примере и) рассматривается произведение дроби \(\frac{2}{3}\) и числа \(12\). Записываем число \(12\) как дробь \(\frac{12}{1}\): \(\frac{2}{3}\cdot12=\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{1}\). Перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{2\cdot12}{3\cdot1}=\frac{24}{3}\). Далее сокращаем или делим: \(24:3=8\). В решении показывается промежуточный шаг \(\frac{2\cdot12}{3}=2\cdot4=8\), то есть сначала \(\frac{12}{3}=4\), потом умножение \(2\cdot4\). Поэтому \(\frac{2}{3}\cdot12=8\).

к) В примере к) надо выполнить деление \(\frac{2}{3}:18\). Число \(18\) представляем как дробь \(\frac{18}{1}\): \(\frac{2}{3}:18=\frac{2}{3}:\frac{18}{1}\). Заменяем деление умножением на обратную дробь \(\frac{1}{18}\): \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{18}\). Получаем \(\frac{2\cdot1}{3\cdot18}\). Далее последовательно раскрываются шаги сокращения: \(\frac{2}{3\cdot18}\). Замечаем, что \(18=3\cdot6\) или \(18=2\cdot9\); в решении показывают разложение знаменателя как произведение \(3\cdot18\), а затем ещё раз как \(1\cdot3\cdot9\). После учёта сокращения имеем \(\frac{1}{3\cdot9}=\frac{1}{27}\). Поэтому \(\frac{2}{3}:18=\frac{1}{27}\).

л) В примере л) требуется вычислить произведение \(\frac{8}{27}\cdot36\). Число \(36\) записываем как дробь \(\frac{36}{1}\): \(\frac{8}{27}\cdot36=\frac{8}{27}\cdot\frac{36}{1}\). Перемножаем: \(\frac{8\cdot36}{27\cdot1}=\frac{8\cdot36}{27}\). Далее сокращаем \(36\) и \(27\) на \(9\): \(36:9=4\), \(27:9=3\). Тогда получаем \(\frac{8\cdot4}{3}\). Перемножив числители, имеем \(\frac{32}{3}\). Это неправильная дробь, поэтому выделяем целую часть: \(32:3=10\) целых и остаток \(2\), значит \(\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\). Следовательно, \(\frac{8}{27}\cdot36=10\frac{2}{3}\).

м) В примере м) нужно вычислить значение выражения \(10:\frac{4}{15}\). Записываем число \(10\) как дробь \(\frac{10}{1}\): \(\frac{10}{1}:\frac{4}{15}\). Деление заменяем умножением на обратную дробь \(\frac{15}{4}\): \(10:\frac{4}{15}=10\cdot\frac{15}{4}\). Далее получаем дробь \(\frac{10\cdot15}{4}\). Сокращаем \(10\) и \(4\) на \(2\), получается \(\frac{5\cdot15}{2}\). Перемножаем числитель: \(\frac{75}{2}\). Эта дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: \(75:2=37\) целых и остаток \(1\), то есть \(37\frac{1}{2}\). В решении это показывается цепочкой равенств: \(10:\frac{4}{15}=10\cdot\frac{15}{4}=\frac{10\cdot15}{4}=\frac{5\cdot15}{2}=\frac{75}{2}=37\frac{1}{2}\).