ГДЗ по Математике 6 Класс Чему научились Глава 1 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

Знаю, в чём состоит основное свойство дроби; умею применять его для при- ведения дробей к новому знаменателю и сокращения дробей.
1. а) Приведите дробь \(\frac{5}{4}\) к знаменателю 60.
б) Сократите дробь \(\frac{42}{78}\).

Умею сравнивать дроби.
2. Сравните дроби:
а) \(\frac{11}{20}\) и \(\frac{8}{15}\)
б) \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\)
в) \(\frac{12}{17}\) и \(\frac{7}{20}\).

Знаю правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей; умею выполнять вычисления с дробными числами.
3. Вычислите:
а) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)
б) \(\frac{5}{7}-\frac{1}{3}\)
в) \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}\)
г) \(\frac{5}{6}:\frac{1}{2}\).

4. Выполните действие:
а) \(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\)
б) \(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\)
в) \(\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}\)
г) \(\frac{3}{4}:\frac{5}{8}\).

5. Найдите значение выражения:
а) \(1-\frac{3}{8}\)
б) \(\frac{5}{6}-\frac{1}{9}\)
в) \(\left(4-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(12+\frac{5}{6}\right)\).

Знаю, как найти часть от числа, выраженную дробью; число по его части; какую часть одно число составляет от другого.

6. В автобусе 54 места. Во время экскурсии было занято \(\frac{2}{3}\) всех мест. Сколько свободных мест оказалось в автобусе?

7. В школьной секции вольной борьбы занимаются 18 пятиклассников. Это составляет \(\frac{2}{5}\) всех учащихся пятых классов. Сколько в школе пятикласс- ников?

8. Из полной 20-литровой канистры отлили 12 л бензина. Какая часть бен- зина осталась в канистре?

Знаю, что такое процент.
9. а) Что называют процентом? Выразите дробью 5 %, 80 %.
б) Выразите в процентах \(\frac{75}{100}\) населения города.
в) Что больше — 47 % или \(\frac{1}{2}\) жителей города?

Умею решать задачи на проценты.
10. Из 500 человек, участвовавших в конкурсе, дети составили 12 %. Сколько взрослых и сколько детей участвовало в конкурсе?

11. Скорость набора текста у Ивана составляла 80 ударов в минуту. По- тренировавшись, он улучшил свой результат на 60 %. Сколько ударов в минуту стал делать Иван?

Умею извлекать информацию из столбчатой и круговой диаграмм, отвечать на вопросы по диаграмме.

12. Пользуясь диаграммой на рисунке 1.12, определите, запчастей какого завода было продано больше в феврале и на сколько больше, чем каж- дого из других заводов.

№ 1.

а) Приводим к знаменателю 60: \( \frac{4}{5}=\frac{4\cdot12}{5\cdot12}=\frac{48}{60} \).

б) Разлагаем на множители и сокращаем: \( \frac{42}{78}=\frac{2\cdot3\cdot7}{2\cdot3\cdot13}=\frac{7}{13} \).

№ 2.

а) Приводим к общему знаменателю 60: \( \frac{11}{20}=\frac{33}{60} \), \( \frac{8}{15}=\frac{32}{60} \), значит \( \frac{33}{60}>\frac{32}{60} \), то есть \( \frac{11}{20}>\frac{8}{15} \).

б) При равных числителях больше дробь с меньшим знаменателем: \( \frac{5}{8}>\frac{5}{11} \).

в) \( \frac{7}{4} \) — неправильная дробь (больше 1), а \( \frac{12}{17}<1 \), значит \( \frac{12}{17}<\frac{7}{4} \).

№ 3.

а) Приводим к общему знаменателю 18: \( \frac{5}{9}+\frac{1}{6}=\frac{5\cdot2+1\cdot3}{18}=\frac{10+3}{18}=\frac{13}{18} \).

б) Приводим к знаменателю 8: \( \frac{5}{8}-\frac{3}{4}=\frac{5}{8}-\frac{3\cdot2}{4\cdot2}=\frac{5}{8}-\frac{6}{8}=-\frac{1}{8} \).

в) Умножаем и сокращаем: \( \frac{4}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{4\cdot14}{7\cdot15}=\frac{4\cdot2}{1\cdot15}=\frac{8}{15} \).

г) Деление заменяем умножением на обратную: \( \frac{20}{27}:\frac{5}{6}=\frac{20}{27}\cdot\frac{6}{5}=\frac{20\cdot6}{27\cdot5}=\frac{4\cdot2}{9\cdot1}=\frac{8}{9} \).

д) Возводим в степень числитель и знаменатель: \( \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}=\frac{8}{27} \).

№ 4.

а) Приводим дробные части к общему знаменателю 15: \( 3\frac{1}{3}+1\frac{2}{5}=3\frac{5}{15}+1\frac{6}{15}=4\frac{11}{15} \).

б) Занимаем 1 у целой части: \( 2\frac{1}{12}-1\frac{7}{12}=1\frac{13}{12}-1\frac{7}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \).

в) Представляем умножение: \( 24\cdot\frac{3}{8}=24:\frac{8}{3}=3\cdot3=9 \).

г) Деление заменяем умножением на обратную: \( \frac{4}{5}:\frac{4}{20}=\frac{4}{5}\cdot\frac{20}{4}=\frac{4}{5}\cdot5=\frac{4}{1\cdot5}=\frac{1}{25} \).

№ 5.

а) Сначала делим, потом вычитаем из 1:
\( 1-\frac{9}{16}:\frac{3}{8}=1-\frac{9}{16}\cdot\frac{8}{3}=1-\frac{9\cdot8}{16\cdot3}=1-\frac{3\cdot1}{2\cdot1}=1-\frac{3}{2}=1-1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\)
\(=-(\frac{4}{8}+\frac{1}{8})=-\frac{5}{8} \).

б) Сначала упрощаем скобки, затем перемножаем:
\( \left(4-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\left(3\frac{3}{3}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(1\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\right)=3\frac{1}{3}\cdot1\frac{5}{4}=\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{10\cdot9}{3\cdot4}=\)
\(=\frac{5\cdot3}{1\cdot2}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}=7{,}5 \).

в) Складываем в числителе и делим на 6:
\( \frac{1\frac{2}{3}+1\frac{1}{4}}{6}=\left(1\frac{1}{2}+1\frac{1}{4}\right):6=\left(2\frac{1}{4}+1\right):6=\frac{3}{4}:6=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{3}{4\cdot6}=\frac{1}{4\cdot2}=\frac{1}{8} \).

№ 6.

1) Доля свободных мест: \( 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \).

2) Число свободных мест: \( 54\cdot\frac{1}{3}=18 \).

Ответ: 18 мест.

№ 7.

Находим целое по части: \( 18:\frac{2}{9}=18\cdot\frac{9}{2}=9\cdot9=81 \).

Ответ: 81 пятиклассник.

№ 8.

1) Осталось бензина: \( 20-12=8 \) л.

2) Доля от полного: \( \frac{8}{20}=\frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \) часть.

№ 9.

а) Одна сотая величины — это процент:
\( 5\%=\frac{5}{100}=\frac{1}{20} \), \( 80\%=\frac{80}{100}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \).

б) Переводим в проценты: \( \frac{75}{100}\cdot100=75\% \).

в) \( \frac{1}{2}\cdot100=50\% \). Так как \( 47\%<50\% \), то \( \frac{1}{2} \) жителей города больше, чем 47\%.

№ 10.

1) Дети: \( 500\cdot\frac{12}{100}=5\cdot12=60 \).

2) Взрослые: \( 500-60=440 \).

Ответ: 60 детей и 440 взрослых.

№ 11.

1) Прирост: \( 80\cdot\frac{60}{100}=8\cdot6=48 \) ударов в минуту.

2) Новый результат: \( 80+48=128 \) ударов в минуту.

Ответ: 128 ударов в минуту.

№ 12.

Разница продаж: \( 510-310=200 \) деталей больше, чем у УАЗа.
Тогда у ГАЗа: \( 510-200=310 \) деталей.

Ответ: в феврале ВАЗ продал на 200 деталей больше, чем УАЗ, и на 310 деталей больше, чем ГАЗ.

№ 1.

а) Приводим к знаменателю 60: \( \frac{4}{5}=\frac{4\cdot12}{5\cdot12}=\frac{48}{60} \).

б) Разлагаем на множители и сокращаем: \( \frac{42}{78}=\frac{2\cdot3\cdot7}{2\cdot3\cdot13}=\frac{7}{13} \).

№ 2.

а) Приводим к общему знаменателю 60: \( \frac{11}{20}=\frac{33}{60} \), \( \frac{8}{15}=\frac{32}{60} \), значит \( \frac{33}{60}>\frac{32}{60} \), то есть \( \frac{11}{20}>\frac{8}{15} \).

б) При равных числителях больше дробь с меньшим знаменателем: \( \frac{5}{8}>\frac{5}{11} \).

в) \( \frac{7}{4} \) — неправильная дробь (больше 1), а \( \frac{12}{17}<1 \), значит \( \frac{12}{17}<\frac{7}{4} \).

№ 3.

а) Приводим к общему знаменателю 18: \( \frac{5}{9}+\frac{1}{6}=\frac{5\cdot2+1\cdot3}{18}=\frac{10+3}{18}=\frac{13}{18} \).

б) Приводим к знаменателю 8: \( \frac{5}{8}-\frac{3}{4}=\frac{5}{8}-\frac{3\cdot2}{4\cdot2}=\frac{5}{8}-\frac{6}{8}=-\frac{1}{8} \).

в) Умножаем и сокращаем: \( \frac{4}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{4\cdot14}{7\cdot15}=\frac{4\cdot2}{1\cdot15}=\frac{8}{15} \).

г) Деление заменяем умножением на обратную: \( \frac{20}{27}:\frac{5}{6}=\frac{20}{27}\cdot\frac{6}{5}=\frac{20\cdot6}{27\cdot5}=\frac{4\cdot2}{9\cdot1}=\frac{8}{9} \).

д) Возводим в степень числитель и знаменатель: \( \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}=\frac{8}{27} \).

№ 4.

а) Приводим дробные части к общему знаменателю 15: \( 3\frac{1}{3}+1\frac{2}{5}=3\frac{5}{15}+1\frac{6}{15}=4\frac{11}{15} \).

б) Занимаем 1 у целой части: \( 2\frac{1}{12}-1\frac{7}{12}=1\frac{13}{12}-1\frac{7}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \).

в) Представляем умножение: \( 24\cdot\frac{3}{8}=24:\frac{8}{3}=3\cdot3=9 \).

г) Деление заменяем умножением на обратную: \( \frac{4}{5}:\frac{4}{20}=\frac{4}{5}\cdot\frac{20}{4}=\frac{4}{5}\cdot5=\frac{4}{1\cdot5}=\frac{1}{25} \).

№ 5.

а) Сначала делим, потом вычитаем из 1:
\( 1-\frac{9}{16}:\frac{3}{8}=1-\frac{9}{16}\cdot\frac{8}{3}=1-\frac{9\cdot8}{16\cdot3}=1-\frac{3\cdot1}{2\cdot1}=1-\frac{3}{2}=1-1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\)
\(=-(\frac{4}{8}+\frac{1}{8})=-\frac{5}{8} \).

б) Сначала упрощаем скобки, затем перемножаем:
\( \left(4-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\left(3\frac{3}{3}-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(1\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\right)=3\frac{1}{3}\cdot1\frac{5}{4}=\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{4}=\)
\(=\frac{10\cdot9}{3\cdot4}=\frac{5\cdot3}{1\cdot2}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}=7{,}5 \).

в) Складываем в числителе и делим на 6:
\( \frac{1\frac{2}{3}+1\frac{1}{4}}{6}=\left(1\frac{1}{2}+1\frac{1}{4}\right):6=\left(2\frac{1}{4}+1\right):6=\frac{3}{4}:6=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{3}{4\cdot6}=\frac{1}{4\cdot2}=\frac{1}{8} \).

№ 6.

1) Доля свободных мест: \( 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \).

2) Число свободных мест: \( 54\cdot\frac{1}{3}=18 \).

Ответ: 18 мест.

№ 7.

Находим целое по части: \( 18:\frac{2}{9}=18\cdot\frac{9}{2}=9\cdot9=81 \).

Ответ: 81 пятиклассник.

№ 8.

1) Осталось бензина: \( 20-12=8 \) л.

2) Доля от полного: \( \frac{8}{20}=\frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \) часть.

№ 9.

а) Одна сотая величины — это процент:
\( 5\%=\frac{5}{100}=\frac{1}{20} \), \( 80\%=\frac{80}{100}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \).

б) Переводим в проценты: \( \frac{75}{100}\cdot100=75\% \).

в) \( \frac{1}{2}\cdot100=50\% \). Так как \( 47\%<50\% \), то \( \frac{1}{2} \) жителей города больше, чем 47\%.

№ 10.

1) Дети: \( 500\cdot\frac{12}{100}=5\cdot12=60 \).

2) Взрослые: \( 500-60=440 \).

Ответ: 60 детей и 440 взрослых.

№ 11.

1) Прирост: \( 80\cdot\frac{60}{100}=8\cdot6=48 \) ударов в минуту.

2) Новый результат: \( 80+48=128 \) ударов в минуту.

Ответ: 128 ударов в минуту.

№ 12.

Разница продаж: \( 510-310=200 \) деталей больше, чем у УАЗа.
Тогда у ГАЗа: \( 510-200=310 \) деталей.

Ответ: в феврале ВАЗ продал на 200 деталей больше, чем УАЗ, и на 310 деталей больше, чем ГАЗ.