ГДЗ по Математике 6 Класс Чему научились Глава 3 Дорофеев, Шарыгин — Подробные Ответы

№ 1.
\(7,1398\): целая часть \(7\), дробная часть \(1398\) десятитысячных. Ответ: семь целых тысяча триста девяносто восемь десятитысячных.

№ 2.
Берём отрезок в 10 клеток за 1. На координатной прямой откладываем соответствующее число клеток: для \(0\) – начало, для \(0,4\) – 4 клетки, для \(0,85\) – 8,5 клетки, для \(1\) – 10 клеток, для \(1,2\) – 12 клеток.

№ 3.

1)
a) \(0,7\). Переносим запятую на 1 знак вправо: \(0,7=\frac{7}{10}\).

б) \(1,23\). Переносим запятую на 2 знака вправо: \(1,23=1\frac{23}{100}\).

в) \(0,085\). Переносим запятую на 3 знака вправо: \(0,085=\frac{85}{1000}\).

2)
a) \(\frac{27}{100}\). Делим числитель на знаменатель: \(\frac{27}{100}=0,27\).

б) \(4\frac{39}{1000}\). Переводим дробную часть: \(\frac{39}{1000}=0,039\), тогда \(4\frac{39}{1000}=4,039\).

в) \(\frac{305}{100}\). Делим: \(\frac{305}{100}=3,05\).

№ 4.

a) Переводим, получая знаменатель \(10\), \(100\) или \(1000\).
\(\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0,5\);
\(\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75\);
\(\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4\);
\(\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}=0,125\);
\(\frac{3}{20}=\frac{15}{100}=0,15\);
\(\frac{4}{25}=\frac{16}{100}=0,16\);
\(\frac{7}{50}=\frac{14}{100}=0,14\).

б) Смотрим на знаменатель: если у него есть другие простые делители, кроме 2 и 5, десятичная дробь не конечная. У дробей \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{1}{30}\) в знаменателе есть делитель 3, поэтому их нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

№ 5.

a) \(1,001\) и \(0,999\): сравниваем цифры после запятой, при одинаковой целой части. \(1,001>0,999\).

б) \(8,54\) и \(8,455\): дописываем ноль \(8,540\); так видно, что \(8,54>8,455\).

в) \(0,305\) и \(0,3050\): дописывание нуля справа не меняет число, значит \(0,305=0,3050\).

№ 6.
Сравниваем по разрядам: \(0,218<0,28\), а у \(0,281\) сотые те же, но тысячные больше, значит \(0,28<0,281\). Получаем \(0,218<0,28<0,281\).

№ 7.

a) \(0,2=\frac{2}{10}\). Приводим к общему знаменателю с \(\frac{1}{3}\): \(\frac{2}{10}=\frac{6}{30}\), \(\frac{1}{3}=\frac{10}{30}\), значит \(0,2<\frac{1}{3}\); аналогично \(\frac{2}{10}<\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{5}=\frac{3}{15}<\frac{1}{3}=\frac{5}{15}\), значит \(\frac{3}{15}<\frac{5}{15}\).

б) \(\frac{1}{4}=0,25\); сравнивая с \(0,3\), получаем \(\frac{1}{4}<0,3\). Так как \(\frac{25}{100}=0,25\), то \(\frac{25}{100}<0,3\) и \(0,25<0,3\).

№ 8.

a) \(6\text{ м }37\text{ см}\). Так как \(1\text{ м}=100\text{ см}\), то \(37\text{ см}=0,37\text{ м}\), значит \(6,37\text{ м}\).

б) \(150\text{ м}\). В 1 км \(1000\text{ м}\), поэтому \(150:1000=0,15\text{ км}\).

в) \(1,04\text{ кг}\). \(1\text{ кг}=1000\text{ г}\), значит \(0,04\text{ кг}=40\text{ г}\), получаем \(1\text{ кг }40\text{ г}\).

№ 9.

a) \(3,8\text{ см}\). \(0,8\text{ см}=8\text{ мм}\), значит \(3\text{ см }8\text{ мм}\).

б) \(4,05\text{ кг}\). \(0,05\text{ кг}=50\text{ г}\), значит \(4\text{ кг }50\text{ г}\).

№ 1.
Число \(7,1398\) состоит из двух частей: целой и дробной. Целая часть записана слева от запятой и равна \(7\), поэтому говорим «семь целых». Дробная часть записана справа от запятой и содержит четыре цифры: \(1\), \(3\), \(9\), \(8\). Четыре знака после запятой означают, что дробь выражена в десятитысячных долях, то есть знаменатель соответствующей обыкновенной дроби равен \(10^{4}=10000\). Тогда \(0,1398\) можно записать как \(\frac{1398}{10000}\) и читаем: «тысяча триста девяносто восемь десятитысячных».

Чтобы записать всё число словами, сначала произносим целую часть, затем дробную часть. Получаем фразу: «семь целых тысяча триста девяносто восемь десятитысячных». Важно, что слово «десятитысячных» связано именно с количеством знаков после запятой (их четыре), а числительное «тысяча триста девяносто восемь» описывает числитель обыкновенной дроби \(\frac{1398}{10000}\).

Таким образом, правильно прочитать и записать словесно число \(7,1398\) нужно как: семь целых тысяча триста девяносто восемь десятитысячных.

№ 2.
По условию за единичный отрезок принимаем отрезок длиной 10 клеток тетради. Это значит, что если мы отложим на линейке 10 клеток, то конец этого отрезка будет соответствовать числу \(1\). Тогда одна клетка отвечает числу \(\frac{1}{10}=0,1\). Зная это, можно переводить количество клеток в десятичные числа: 2 клетки – это \(0,2\), 4 клетки – \(0,4\), 8 клеток – \(0,8\), 10 клеток – \(1\), 12 клеток – \(1,2\) и так далее.

Для точки с координатой \(0,4\) нужно отложить \(0,4:0,1=4\) клетки от нуля вправо. Для точки \(0,85\) количество десятых равно \(0,85:0,1=8,5\), то есть точка расположена посередине между восьмой и девятой клеткой. Для числа \(1\) отмеряем ровно \(10\) клеток. Для числа \(1,2\) сначала проходим 1 единицу (10 клеток), а затем ещё \(0,2\) (2 клетки), всего \(12\) клеток от начала. В результате на прямой отмечаются точки в следующих местах: \(0\) – начало отрезка, \(0,4\) – 4 клетки, \(0,85\) – 8,5 клетки, \(1\) – 10 клеток, \(1,2\) – 12 клеток.

Такое построение помогает связать геометрическое представление (отрезок с клетками) с алгебраическим (десятичные числа). Каждое число выражается как часть единичного отрезка, и мы наглядно видим, что \(0,4\) меньше \(0,85\), а \(1,2\) больше \(1\), потому что соответствующие точки находятся левее или правее на координатной прямой.

№ 3.

1)
a) Для числа \(0,7\) видим одну цифру после запятой, значит, знаменатель будет \(10\). Переводим десятичную дробь в обыкновенную: \(\,0,7=\frac{7}{10}\). Здесь числитель равен числу без запятой, а знаменатель – \(10\), потому что один знак после запятой показывает десятые доли.

б) Для числа \(1,23\) сначала выделяем целую часть \(1\) и дробную \(0,23\). В дробной части два знака после запятой, значит числитель будет \(23\), а знаменатель \(100\). Получаем: \(1,23=1+\frac{23}{100}=1\frac{23}{100}\). Это запись смешанного числа: одна целая и двадцать три сотых.

в) В числе \(0,085\) три цифры после запятой, поэтому знаменатель будет \(1000\). Если убрать запятую, получаем число \(85\). Записываем: \(0,085=\frac{85}{1000}\). Здесь важно заметить, что ноль сразу после запятой показывает, что сначала идут сотые, а ненулевые цифры находятся в тысячных и десятитысячных разрядах, но при переводе в дробь мы просто берём число без запятой и делим на \(1000\).

2)
a) Для обыкновенной дроби \(\frac{27}{100}\) знаменатель \(100\) означает сотые доли. Делим числитель на знаменатель как десятичную дробь: \(\frac{27}{100}=0,27\), то есть двадцать семь сотых. Здесь две цифры после запятой соответствуют двум нулям в знаменателе.

б) Для смешанного числа \(4\frac{39}{1000}\) сначала преобразуем дробную часть \(\frac{39}{1000}\). Знаменатель \(1000\) означает тысячные доли, поэтому три знака после запятой: \(\frac{39}{1000}=0,039\). Теперь прибавляем целую часть: \(4+\!0,039=4,039\). Важно записать ноль после запятой перед цифрами \(3\) и \(9\), чтобы сохранить три десятичных разряда.

в) Для дроби \(\frac{305}{100}\) делим \(305\) на \(100\). Два нуля в знаменателе дают две цифры после запятой: \(\frac{305}{100}=3,05\). Можно представить это так: \(305:100=3,05\), то есть три целых и пять сотых. Нулевая цифра в десятых показывает отсутствие десятых долей, но её нужно писать, чтобы верно отразить разрядность.

№ 4.

a) Здесь каждую обыкновенную дробь нужно преобразовать в десятичную, добиваясь знаменателя \(10\), \(100\) или \(1000\). Для \(\frac{1}{2}\) домножаем числитель и знаменатель на \(5\): получаем \(\frac{5}{10}=0,5\), потому что одна вторая – это пять десятых. Для \(\frac{3}{4}\) домножаем на \(25\): \(\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75\), то есть семьдесят пять сотых. Для \(\frac{2}{5}\) умножаем числитель и знаменатель на \(2\): \(\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4\).

Для \(\frac{1}{8}\) нужно получить знаменатель \(1000\): домножаем на \(125\) и получаем \(\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}=0,125\). Для \(\frac{3}{20}\) домножаем числитель и знаменатель на \(5\): \(\frac{3}{20}=\frac{15}{100}=0,15\). Для \(\frac{4}{25}\) домножаем на \(4\): \(\frac{4}{25}=\frac{16}{100}=0,16\). Для \(\frac{7}{50}\) домножаем на \(2\): \(\frac{7}{50}=\frac{14}{100}=0,14\). Во всех случаях мы подбираем множитель так, чтобы в знаменателе получилось \(10\), \(100\) или \(1000\), а затем сразу записываем десятичную дробь.

б) Чтобы понять, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной, нужно разложить знаменатель на простые множители. Конечная десятичная существует только тогда, когда в знаменателе (после сокращения) остались простые множители \(2\) и \(5\). У дроби \(\frac{1}{3}\) знаменатель \(3\), у \(\frac{5}{6}\) знаменатель \(6=2\cdot3\), у \(\frac{1}{30}\) знаменатель \(30=2\cdot3\cdot5\). Во всех трёх дробях присутствует множитель \(3\), поэтому при переводе в десятичную дробь получаем бесконечную периодическую запись, а не конечную. Значит, \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{1}{30}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

№ 5.

a) Сравним числа \(1,001\) и \(0,999\). Сначала сравниваем целые части: у первого числа целая часть \(1\), у второго \(0\). Поскольку \(1>0\), уже можно сделать вывод, что \(1,001>0,999\), даже не заглядывая в дробную часть. Цифры после запятой здесь не влияют на результат, так как различие в целой части решающее.

б) Для чисел \(8,54\) и \(8,455\) целые части одинаковы: обе равны \(8\), поэтому нужно сравнить дробные части. У первого числа дробная часть \(0,54\), у второго \(0,455\). Чтобы удобнее было сравнивать, допишем ноль: \(8,54=8,540\). Теперь сравниваем \(540\) и \(455\) как целые числа в тысячных долях: \(540>455\), значит \(8,54>8,455\).

в) Числа \(0,305\) и \(0,3050\) отличаются только наличием дополнительного нуля в конце дробной части. В десятичной записи нуль в самом конце дробной части можно дописывать или не дописывать, числовое значение от этого не меняется. Например, \(0,3=0,30=0,300\). Поэтому \(0,305=0,3050\): оба числа обозначают триста пять тысячных.

№ 6.
Нужно расположить числа \(0,218\), \(0,28\), \(0,281\) в порядке возрастания. У всех трёх чисел целая часть равна нулю, поэтому сравниваем десятичные части. Для удобства можно привести их к одинаковому количеству знаков после запятой: \(0,218\), \(0,280\), \(0,281\). Теперь сравниваем по разрядам: десятые у всех \(2\), сотые равны \(1\), \(8\), \(8\). Уже ясно, что \(0,218\) меньше других, так как в сотых разряд \(1\) меньше \(8\).

Остаётся сравнить \(0,280\) и \(0,281\). Целая часть и десятые у них одинаковые: \(0\) и \(2\). В сотых тоже стоят одинаковые цифры \(8\). Сравниваем тысячные: у \(0,280\) это \(0\), у \(0,281\) – \(1\). Так как \(0<1\), то \(0,280<0,281\). Объединяя оба шага сравнения, получаем цепочку: \(0,218<0,28<0,281\).

Таким образом, среди данных чисел наименьшим является \(0,218\), затем идёт \(0,28\), и самым большим оказывается \(0,281\), что и отражено в неравенстве.

№ 7.

a) Сравним сначала числа \(0,2\) и \(\frac{1}{3}\). Переведём \(0,2\) в обыкновенную дробь: \(0,2=\frac{2}{10}\). Теперь приведём дроби \(\frac{2}{10}\) и \(\frac{1}{3}\) к общему знаменателю \(30\): \(\frac{2}{10}=\frac{6}{30}\), а \(\frac{1}{3}=\frac{10}{30}\). Так как \(6<10\), то \(\frac{2}{10}<\frac{1}{3}\), значит \(0,2<\frac{1}{3}\).

Далее рассматриваем \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{1}{3}\). Приводим к знаменателю \(15\): \(\frac{1}{5}=\frac{3}{15}\), \(\frac{1}{3}=\frac{5}{15}\). Сравниваем числители: \(3<5\), следовательно \(\frac{1}{5}<\frac{1}{3}\). Из равенства \(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\) и \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\) видно, что \(\frac{3}{15}<\frac{5}{15}\). Все записи в пункте а) отражают эти сравнения: \(0,2<\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{10}<\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{5}<\frac{1}{3}\), \(\frac{3}{15}<\frac{5}{15}\).

б) Сравним \(\frac{1}{4}\) и \(0,3\). Переведём \(\frac{1}{4}\) в десятичную дробь: это \(0,25\), так как \(\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=0,25\). Сравниваем \(0,25\) и \(0,3\): целые части равны нулю, а в десятых \(2<3\), значит \(0,25<0,3\), следовательно \(\frac{1}{4}<0,3\).

Запись \(\frac{25}{100}<0,3\) эквивалентна предыдущему сравнению, потому что \(\frac{25}{100}=0,25\). Последнее неравенство \(0,25<0,3\) ещё раз показывает то же самое в десятичной форме. Таким образом, во всех шагах подтверждается, что четверть меньше, чем три десятых.

№ 8.

a) Преобразуем \(6\text{ м }37\text{ см}\) в метры. Знаем, что \(1\text{ м}=100\text{ см}\). Тогда \(37\text{ см}=\frac{37}{100}\text{ м}=0,37\text{ м}\). Складываем целую часть и дробную: \(6\text{ м}+0,37\text{ м}=6,37\text{ м}\). Получаем запись: \(6\text{ м }37\text{ см}=6,37\text{ м}\).

б) Переведём \(150\text{ м}\) в километры. В одном километре \(1000\text{ м}\). Чтобы узнать, сколько километров в \(150\text{ м}\), надо разделить: \(150:1000=0,15\). Значит, \(150\text{ м}=0,15\text{ км}\). Здесь три нуля в знаменателе означают, что в результат нужно записать три знака после запятой, но поскольку лишние нули справа можно опускать, запись \(0,150\) равна \(0,15\).

в) Масса \(1,04\text{ кг}\): целая часть \(1\text{ кг}\), дробная часть \(0,04\text{ кг}\). В одном килограмме \(1000\text{ г}\), значит \(0,04\text{ кг}\) – это \(\frac{4}{100}\text{ кг}=\frac{4\cdot10}{100\cdot10}=\frac{40}{1000}\text{ кг}=40\text{ г}\). Таким образом, \(1,04\text{ кг}=1\text{ кг }40\text{ г}\).

№ 9.

a) Длина \(3,8\text{ см}\) состоит из \(3\) см и \(0,8\) см. Знаем, что \(1\text{ см}=10\text{ мм}\). Тогда \(0,8\text{ см}=\frac{8}{10}\text{ см}=8\text{ мм}\), поскольку десятая доля сантиметра – это один миллиметр. Следовательно, \(3,8\text{ см}=3\text{ см }8\text{ мм}\).

б) Масса \(4,05\text{ кг}\) состоит из \(4\) кг и \(0,05\) кг. В одном килограмме \(1000\text{ г}\), значит \(0,05\text{ кг}=\frac{5}{100}\text{ кг}=\frac{50}{1000}\text{ кг}=50\text{ г}\). То есть \(4,05\text{ кг}=4\text{ кг }50\text{ г}\). Такое разложение удобно при практических измерениях, когда массы чаще записывают в килограммах и граммах, а длины – в сантиметрах и миллиметрах.