ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 841 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Ищем закономерность. Даны выражения:

1 — 1/2, (1 — 1/2) · (1 — 1/3), (1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4).

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Краткий ответ:

1) Значения выражений:

Первое: 1 — 1/2 = 1/2.

Второе: (1 — 1/2) · (1 — 1/3) = 1/3.

Третье: (1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4) = 1/4.

2) Закономерность: значение каждого выражения равно 1/n, где n — количество множителей.

3) Следующее выражение:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4) · (1 — 1/5).

Его значение: 1/5.

Подробный ответ:

1. Вычислим значения данных выражений

Первое выражение:
1 — 1/2.
Вычитаем дроби:
1 = 2/2, поэтому:
1 — 1/2 = 2/2 — 1/2 = 1/2.
Значение первого выражения: 1/2.
Второе выражение:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3).
Подставляем значение 1 — 1/2 = 1/2:
(1/2) · (1 — 1/3).
Вычитаем дробь:
1 — 1/3 = 3/3 — 1/3 = 2/3.
Теперь перемножаем дроби:
(1/2) · (2/3) = (1 · 2) / (2 · 3) = 2/6 = 1/3.
Значение второго выражения: 1/3.
Третье выражение:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4).
Подставляем уже найденные значения:
(1/2) · (2/3) · (1 — 1/4).
Вычитаем дробь:
1 — 1/4 = 4/4 — 1/4 = 3/4.
Теперь перемножаем дроби:
(1/2) · (2/3) · (3/4) = (1 · 2 · 3) / (2 · 3 · 4) = 6/24 = 1/4.
Значение третьего выражения: 1/4.

2. Подметим закономерность

Каждое выражение составляется следующим образом:

Первое выражение состоит из одного множителя: (1 — 1/2).
Второе выражение состоит из двух множителей: (1 — 1/2) · (1 — 1/3).
Третье выражение состоит из трёх множителей: (1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4).

Таким образом, каждое новое выражение добавляет множитель вида (1 — 1/n), где n увеличивается на 1.

3. Запишем следующее выражение

Четвёртое выражение будет:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4) · (1 — 1/5).

4. Догадаемся, чему равно его значение

Мы видим, что значения выражений образуют последовательность:

Первое: 1/2.
Второе: 1/3.
Третье: 1/4.

Закономерность: значение каждого выражения равно 1/n, где n — количество множителей.

Для четвёртого выражения количество множителей равно 4, поэтому его значение должно быть:
1/5.

5. Проверим себя вычислениями

Подставим множители:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4) · (1 — 1/5).

Уже знаем, что:
(1 — 1/2) · (1 — 1/3) · (1 — 1/4) = 1/4.

Теперь умножим на (1 — 1/5):
1 — 1/5 = 5/5 — 1/5 = 4/5.

Перемножаем:
(1/4) · (4/5) = (1 · 4) / (4 · 5) = 4/20 = 1/5.

Значение четвёртого выражения: 1/5.

Оцени решение