ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 813 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы

Задача

1) Подметьте закономерность в последовательности сумм:

1 1/2 + 2 1/4 = 3 3/4;

1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 = 6 7/8;

1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/6 = 10 15/16.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

Краткий ответ:

Целая часть — сумма первых n натуральных чисел, дробная часть — сумма 1/2 + 1/4 + … + 1/(2^n).
Следующее равенство:
1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/16 + 5 1/32 = 15 31/32.

Подробный ответ:

1) Подметим закономерность в последовательности сумм:

1 1/2 + 2 1/4 = 3 3/4;
1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 = 6 7/8;
1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/6 = 10 15/16.

Рассмотрим закономерность в целых частях.
В каждой сумме присутствуют целые части чисел:

Это сумма первых натуральных чисел:
S = 1 + 2 + 3 + … + n.

Рассмотрим закономерность в дробных частях.
Дробные части имеют знаменатели 2, 4, 8, 16 и так далее — это степени двойки.

В первом равенстве: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4,

Во втором равенстве: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8,

В третьем равенстве: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 8/16 + 4/16 + 2/16 + 1/16 = 15/16.

Это сумма дробей вида:
1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n).

Общая закономерность.
Сумма чисел состоит из двух частей:

Целая часть равна сумме первых n натуральных чисел: S = 1 + 2 + 3 + … + n.

Дробная часть равна сумме дробей 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/(2^n), которая всегда меньше 1.

2) Запишем следующее равенство и проверим результат сложением.

Следующее равенство:
1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/16 + 5 1/32.

Сложим целые части.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Сложим дробные части.
Дробные части: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32.
Приведем к общему знаменателю (32):

1/2 = 16/32,

1/4 = 8/32,

1/8 = 4/32,

1/16 = 2/32,

1/32 = 1/32.

Сложим:
16/32 + 8/32 + 4/32 + 2/32 + 1/32 = 31/32.

Объединим целую и дробную части.
15 + 31/32 = 15 31/32.

Ответ: Следующее равенство:
1 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/16 + 5 1/32 = 15 31/32.

Оцени решение