ГДЗ по Математике 5 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Шарыгин — Все Части

Математика

5 класс учебник Дорофеев

5 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2020-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 765 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Ищем закономерность. Даны выражения

1/(2^2 -1); 1/(2^2 -1) + 1/(4^2 -1);

1/(2^2 -1) + 1/(4^2 -1) + 1/(6^2 -1).

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Краткий ответ:

1) Значения выражений:

1 / (2² — 1) = 1 / 3,

1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) = 2 / 5,

1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) = 3 / 7.

2) Закономерность: числитель равен количеству слагаемых, знаменатель на 2 больше числителя. Следующее выражение:
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) + 1 / (8² — 1).
Значение: 4 / 9.

Проверка: расчёты подтверждают, что результат равен 4 / 9.

Подробный ответ:

1) Вычислим значение каждого из выражений

Первое выражение: 1 / (2² — 1)

Сначала вычислим знаменатель: 2² = 4, поэтому 2² — 1 = 4 — 1 = 3.

Значит, первое выражение равно:

1 / 3.

Второе выражение: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1)

Вычислим знаменатели для каждой дроби:

Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.

Для второй дроби: 4² — 1 = 16 — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.

Найдём общий знаменатель для 3 и 15: НОК(3, 15) = 15.

Приводим дроби к общему знаменателю:

1 / 3 = 5 / 15,

1 / 15 остаётся без изменений.

Складываем дроби:

5 / 15 + 1 / 15 = 6 / 15.

Сокращаем дробь:

6 / 15 = 2 / 5.

Значит, второе выражение равно:

2 / 5.

Третье выражение: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1)

Вычислим знаменатели для каждой дроби:

Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.

Для второй дроби: 4² — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.

Для третьей дроби: 6² — 1 = 36 — 1 = 35, поэтому 1 / (6² — 1) = 1 / 35.

Найдём общий знаменатель для 3, 15 и 35: НОК(3, 15, 35) = 105.

Приводим дроби к общему знаменателю:

1 / 3 = 35 / 105,

1 / 15 = 7 / 105,

1 / 35 = 3 / 105.

Складываем дроби:

35 / 105 + 7 / 105 + 3 / 105 = 45 / 105.

Сокращаем дробь:

45 / 105 = 3 / 7.

Значит, третье выражение равно:

3 / 7.

2) Подметим закономерность и запишем следующее выражение

Рассмотрим закономерность:

Первое выражение состоит из одной дроби: 1 / (2² — 1).

Второе выражение состоит из двух дробей: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1).

Третье выражение состоит из трёх дробей: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1).

Каждый раз добавляется дробь вида 1 / (n² — 1), где n — чётное число, увеличивающееся на 2 (2, 4, 6, …).

Следующее выражение:
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) + 1 / (8² — 1).

Догадаемся, чему равно следующее выражение

Заметим, что значения выражений уменьшаются:

Первое выражение: 1 / 3.

Второе выражение: 2 / 5.

Третье выражение: 3 / 7.

В числителе каждого результата стоит количество слагаемых (1, 2, 3).

В знаменателе каждого результата стоит число, на 2 больше числителя (3, 5, 7).

Следовательно, значение следующего выражения будет равно:

4 / 9.

Проверим себя с помощью вычислений

Вычислим знаменатели для каждой дроби:

Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.

Для второй дроби: 4² — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.

Для третьей дроби: 6² — 1 = 35, поэтому 1 / (6² — 1) = 1 / 35.

Для четвёртой дроби: 8² — 1 = 63, поэтому 1 / (8² — 1) = 1 / 63.

Найдём общий знаменатель для 3, 15, 35 и 63: НОК(3, 15, 35, 63) = 945.

Приводим дроби к общему знаменателю:

1 / 3 = 315 / 945,

1 / 15 = 63 / 945,

1 / 35 = 27 / 945,

1 / 63 = 15 / 945.

Складываем дроби:

315 / 945 + 63 / 945 + 27 / 945 + 15 / 945 = 420 / 945.

Сокращаем дробь:

420 / 945 = 4 / 9.

Ответ: следующее выражение равно 4 / 9.

Оцени решение