Учебник «Математика. 5 класс», написанный выдающимися авторами А. Г. Дорофеевым и И. Ф. Шарыгиным, является одним из наиболее популярных и эффективных пособий для школьников. Этот учебник помогает не только освоить базовые математические навыки, но и развить логическое мышление, внимание и интерес к предмету. Благодаря своей структуре, ярким примерам и увлекательным задачам, он легко становится надежным помощником в изучении математики.
Особенности учебника:
- Понятная структура материала
Учебник логично разделен на главы, каждая из которых посвящена отдельной теме: арифметика, алгебраические выражения, геометрия и основы логики. Это позволяет учащимся постепенно углубляться в материал без перегрузки. - Практическая направленность
Авторы уделяют особое внимание применению математики в реальной жизни. Задачи часто связаны с повседневными ситуациями, что делает обучение более увлекательным и полезным. - Интерактивные задания
В книге встречаются задачи на построение, головоломки и упражнения, требующие нестандартного подхода. Это стимулирует творческое мышление и помогает ученикам не просто запоминать формулы, а понимать их суть. - Материал для разного уровня подготовки
Учебник подходит как для сильных учеников, так и для тех, кто только начинает осваивать основы математики. Задания варьируются от простых до более сложных, что позволяет каждому ученику работать в своем темпе. - Красочное оформление
Иллюстрации, таблицы и схемы делают материал более доступным и визуально привлекательным для школьников.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Дорофеев и Шарыгин создали пособие, которое не только соответствует образовательным стандартам, но и вдохновляет учеников на изучение математики. Учебник учит не просто решать задачи, а мыслить аналитически, искать закономерности и применять знания в жизни. Его использование в образовательном процессе помогает школьникам сформировать прочную базу для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 765 Дорофеев, Шарыгин, Суворова — Подробные Ответы
1) Значения выражений:
1 / (2² — 1) = 1 / 3,
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) = 2 / 5,
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) = 3 / 7.
2) Закономерность: числитель равен количеству слагаемых, знаменатель на 2 больше числителя. Следующее выражение:
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) + 1 / (8² — 1).
Значение: 4 / 9.
Проверка: расчёты подтверждают, что результат равен 4 / 9.
1) Вычислим значение каждого из выражений
Первое выражение: 1 / (2² — 1)
Сначала вычислим знаменатель: 2² = 4, поэтому 2² — 1 = 4 — 1 = 3.
Значит, первое выражение равно:
1 / 3.
Второе выражение: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1)
Вычислим знаменатели для каждой дроби:
Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.
Для второй дроби: 4² — 1 = 16 — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.
Найдём общий знаменатель для 3 и 15: НОК(3, 15) = 15.
Приводим дроби к общему знаменателю:
1 / 3 = 5 / 15,
1 / 15 остаётся без изменений.
Складываем дроби:
5 / 15 + 1 / 15 = 6 / 15.
Сокращаем дробь:
6 / 15 = 2 / 5.
Значит, второе выражение равно:
2 / 5.
Третье выражение: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1)
Вычислим знаменатели для каждой дроби:
Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.
Для второй дроби: 4² — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.
Для третьей дроби: 6² — 1 = 36 — 1 = 35, поэтому 1 / (6² — 1) = 1 / 35.
Найдём общий знаменатель для 3, 15 и 35: НОК(3, 15, 35) = 105.
Приводим дроби к общему знаменателю:
1 / 3 = 35 / 105,
1 / 15 = 7 / 105,
1 / 35 = 3 / 105.
Складываем дроби:
35 / 105 + 7 / 105 + 3 / 105 = 45 / 105.
Сокращаем дробь:
45 / 105 = 3 / 7.
Значит, третье выражение равно:
3 / 7.
2) Подметим закономерность и запишем следующее выражение
Рассмотрим закономерность:
Первое выражение состоит из одной дроби: 1 / (2² — 1).
Второе выражение состоит из двух дробей: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1).
Третье выражение состоит из трёх дробей: 1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1).
Каждый раз добавляется дробь вида 1 / (n² — 1), где n — чётное число, увеличивающееся на 2 (2, 4, 6, …).
Следующее выражение:
1 / (2² — 1) + 1 / (4² — 1) + 1 / (6² — 1) + 1 / (8² — 1).
Догадаемся, чему равно следующее выражение
Заметим, что значения выражений уменьшаются:
Первое выражение: 1 / 3.
Второе выражение: 2 / 5.
Третье выражение: 3 / 7.
В числителе каждого результата стоит количество слагаемых (1, 2, 3).
В знаменателе каждого результата стоит число, на 2 больше числителя (3, 5, 7).
Следовательно, значение следующего выражения будет равно:
4 / 9.
Проверим себя с помощью вычислений
Вычислим знаменатели для каждой дроби:
Для первой дроби: 2² — 1 = 3, поэтому 1 / (2² — 1) = 1 / 3.
Для второй дроби: 4² — 1 = 15, поэтому 1 / (4² — 1) = 1 / 15.
Для третьей дроби: 6² — 1 = 35, поэтому 1 / (6² — 1) = 1 / 35.
Для четвёртой дроби: 8² — 1 = 63, поэтому 1 / (8² — 1) = 1 / 63.
Найдём общий знаменатель для 3, 15, 35 и 63: НОК(3, 15, 35, 63) = 945.
Приводим дроби к общему знаменателю:
1 / 3 = 315 / 945,
1 / 15 = 63 / 945,
1 / 35 = 27 / 945,
1 / 63 = 15 / 945.
Складываем дроби:
315 / 945 + 63 / 945 + 27 / 945 + 15 / 945 = 420 / 945.
Сокращаем дробь:
420 / 945 = 4 / 9.
Ответ: следующее выражение равно 4 / 9.
Математика
