ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 520 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения

$$a^2+b^2-2a+4b+10$$

и укажите пару значений $a$ и $b$, при которых оно достигается.

Указание. Выделите в выражении квадраты двучленов.

$$a^2+b^2-2a+4b+10=a^2-2a+1+b^2+4b+4+5=$$$$=(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5;$$

1) Наименьшее значение выражения:
$(a-1{)}^2\ge 0$ и $(b+2{)}^2\ge 0$, значит $(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5\ge 5$;

2) Найдем значение аргумента $a$:
$(a-1{)}^2=0$;
$a-1=0$, отсюда $a=1$;

3) Найдем значение аргумента $b$:
$(b+2{)}^2=0$;
$b+2=0$, отсюда $b=-2$;

Ответ: наименьшее значение 5 достигается при $a=1$ и $b=-2$.

Рассмотрим выражение:

$$a^2+b^2-2a+4b+10$$

Чтобы упростить это выражение и найти его наименьшее значение, начнем с выделения квадратов двучленов. Перепишем выражение, группируя подобные слагаемые и выделяя квадраты:

$$a^2-2a+1+b^2+4b+4+5$$

Теперь видим, что $a^2-2a+1$ можно записать как $(a-1{)}^2$, а $b^2+4b+4$ — как $(b+2{)}^2$. Получаем:

$$=(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5$$

Теперь рассмотрим минимальные значения каждого квадрата. Мы знаем, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть:

$$(a-1{)}^2\ge 0\text{и}(b+2{)}^2\ge 0$$

Следовательно, сумма этих квадратов будет иметь наименьшее значение, равное $0$, когда $a=1$ и $b=-2$. Тогда все выражение примет вид:

$$(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5\ge 5$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2+b^2-2a+4b+10$ равно 5 и оно достигается при $a=1$ и $b=-2$.

Ответ: наименьшее значение 5 достигается при $a=1$ и $b=-2$.