ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 514 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (512–514):

а) ${\displaystyle \frac{a^2+b^2+2ab-c^2}{a+b+c}}$;

б) ${\displaystyle \frac{x^2+y^2-2xy-c^2}{x^2-y^2-c^2-2yc}}$;

в) ${\displaystyle \frac{a^3+a{b}^2-2a^{2}b}{a^3-a{b}^2}}$.

а) ${\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{a+b+c}}={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2-c^2}{a+b+c}}={\displaystyle \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}}=a+b-c$;

б) ${\displaystyle \frac{x^2+y^2-2xy-c^2}{x^2-y^2-c^2-2yc}}={\displaystyle \frac{x^2-2xy+y^2-c^2}{x^2-(y^2+2yc+c^2)}}={\displaystyle \frac{(x-y{)}^2-c^2}{x^2-(y+c{)}^2}}=$

${\displaystyle \frac{(x-y-c)(x-y+c)}{(x-y-c)(x+y+c)}}={\displaystyle \frac{x-y+c}{x+y+c}}$;

в) ${\displaystyle \frac{a^3+a{b}^2-2a^{2}b}{a^3-a{b}^2}}={\displaystyle \frac{a(a^2-2ab+b^2)}{a(a^2-b^2)}}={\displaystyle \frac{a(a-b{)}^2}{a(a-b)(a+b)}}={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{a+b+c}$$

Объединим первые три слагаемых числителя:

$$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$$

Таким образом, дробь принимает вид:

$$\frac{(a+b{)}^2-c^2}{a+b+c}$$

Теперь заметим, что в числителе у нас выражение разности квадратов $(a+b{)}^2-c^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$$\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}$$

Мы видим, что $(a+b+c)$ встречается и в числителе, и в знаменателе, и можем их сократить при условии, что $a+b+c\mathrm{\ne }0$:

$$\frac{a+b-c}{1}=a+b-c$$

Ответ: $a+b-c$.

б) Рассмотрим дробь:

$$\frac{x^2+y^2-2xy-c^2}{x^2-y^2-c^2-2yc}$$

В числителе преобразуем выражение $x^2+y^2-2xy$ как полный квадрат:

$$x^2+y^2-2xy=(x-y{)}^2$$

Таким образом, числитель можно записать как:

$$(x-y{)}^2-c^2$$

В знаменателе преобразуем выражение $x^2-y^2-c^2-2yc$ следующим образом:

$$x^2-y^2-c^2-2yc=x^2-(y^2+2yc+c^2)$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$\frac{(x-y{)}^2-c^2}{x^2-(y+c{)}^2}$$

В числителе снова разность квадратов, которую можно разложить:

$$\frac{(x-y-c)(x-y+c)}{x^2-(y+c{)}^2}$$

В знаменателе также разность квадратов $x^2-(y+c{)}^2$, которую можно разложить:

$$\frac{(x-y-c)(x-y+c)}{(x-y-c)(x+y+c)}$$

Сокращаем $(x-y-c)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x-y+c}{x+y+c}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{x-y+c}{x+y+c}}$.

в) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^3+a{b}^2-2a^{2}b}{a^3-a{b}^2}$$

В числителе можно выделить общий множитель $a$:

$$a^3+a{b}^2-2a^{2}b=a(a^2+b^2-2ab)$$

Теперь дробь примет вид:

$$\frac{a(a^2+b^2-2ab)}{a^3-a{b}^2}$$

В знаменателе можно вынести общий множитель $a$:

$$a^3-a{b}^2=a(a^2-b^2)$$

Теперь дробь примет вид:

$$\frac{a(a^2+b^2-2ab)}{a(a^2-b^2)}$$

Сокращаем $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{a^2+b^2-2ab}{a^2-b^2}$$

В числителе выражение можно записать как полный квадрат:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2$$

Теперь дробь примет вид:

$$\frac{(a-b{)}^2}{(a-b)(a+b)}$$

Сокращаем $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a\mathrm{\ne }b$):

$$\frac{a-b}{a+b}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}$.