ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 5 Номер 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В таблице приведены сведения об отметках Сергея по алгебре за второе полугодие:

Найдите стандартное отклонение этого ряда отметок. (При необходимости можно воспользоваться калькулятором.)

1) Общее количество отметок Сергея: $S = 3 + 6 + 12 + 8 = 29$;

2) Среднее арифметическое: $\overline{x} = \dfrac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 8}{29} = \dfrac{112}{29} \approx 3,9$;

3) Дисперсия: $D = \dfrac{(2 — 3,9)^2 \cdot 3 + (3 — 3,9)^2 \cdot 6 + (4 — 3,9)^2 \cdot 12 + (5 — 3,9)^2 \cdot 8}{29} =$

$= \dfrac{1,9^2 \cdot 3 + 0,9^2 \cdot 6 + 0,1^2 \cdot 12 + 1,1^2 \cdot 8}{29} = \dfrac{10,83 + 4,86 + 0,12 + 9,68}{29} =$

$= \dfrac{25,49}{29} \approx 0,88$;

4) Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0,88} \approx 0,94$;

Ответ: 0,94.

1) Общее количество отметок Сергея вычисляется как сумма всех выставленных оценок с учётом их количества. В задаче указано, что Сергей получил 3 отметки «2», 6 отметок «3», 12 отметок «4» и 8 отметок «5». Складываем: $3 + 6 = 9$, далее $9 + 12 = 21$, затем $21 + 8 = 29$. Таким образом, общее количество всех полученных Сергеем оценок равно $S = 29$.

2) Среднее арифметическое оценок вычисляется по формуле $\overline{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N}$, где $x_i$ — значение оценки, $n_i$ — количество раз, сколько раз она встретилась, а $N$ — общее количество элементов. Подставляем данные: для оценки «2» имеем $2 \cdot 3 = 6$, для «3» имеем $3 \cdot 6 = 18$, для «4» имеем $4 \cdot 12 = 48$, для «5» имеем $5 \cdot 8 = 40$. Складываем произведения: $6 + 18 = 24$, затем $24 + 48 = 72$, и $72 + 40 = 112$. Таким образом, числитель равен 112. В знаменателе стоит $N = 29$. Получаем $\overline{x} = \dfrac{112}{29} \approx 3,9$. Следовательно, средняя оценка Сергея приблизительно равна $3,9$.

3) Для нахождения дисперсии используется формула $D = \dfrac{\sum (x_i — \overline{x})^2 \cdot n_i}{N}$. Сначала вычисляем отклонения каждой оценки от среднего и возводим их в квадрат: для «2» имеем $(2 — 3,9)^2 = (-1,9)^2 = 3,61$; для «3»: $(3 — 3,9)^2 = (-0,9)^2 = 0,81$; для «4»: $(4 — 3,9)^2 = (0,1)^2 = 0,01$; для «5»: $(5 — 3,9)^2 = (1,1)^2 = 1,21$. Теперь каждое значение умножаем на количество соответствующих оценок: для «2»: $3,61 \cdot 3 = 10,83$; для «3»: $0,81 \cdot 6 = 4,86$; для «4»: $0,01 \cdot 12 = 0,12$; для «5»: $1,21 \cdot 8 = 9,68$. Складываем: $10,83 + 4,86 = 15,69$, далее $15,69 + 0,12 = 15,81$, затем $15,81 + 9,68 = 25,49$. Числитель равен $25,49$. В знаменателе количество оценок $N = 29$. Получаем $D = \dfrac{25,49}{29} \approx 0,88$. Таким образом, дисперсия равна примерно $0,88$.

4) Стандартное отклонение находится как квадратный корень из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D}$. Подставляем найденное значение дисперсии: $\sigma = \sqrt{0,88}$. Приближённо вычисляем: $\sqrt{0,88} \approx 0,94$. Следовательно, стандартное отклонение оценок Сергея равно $0,94$.

Ответ: 0,94.