ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 3 Номер 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какое из уравнений имеет три корня?

1) $\frac{x^2+1}{x-1}=0$

2) $\frac{x(x^2-1)}{x-1}=0$

3) $\frac{x(x^2+4)}{x-1}=0$

4) $\frac{x(x^2-4)}{x-1}=0$

1) $\frac{x^2+1}{x-1}=0$;$x^2+1=0$;
$x^2=-1\text{— корней нет;}$

2) $\frac{x(x^2-1)}{x-1}=0$;$x(x^2-1)=0$;
$x(x-1)(x+1)=0$, тогда:
$x=0$;
$x-1=0$, отсюда $x=1$;
$x+1=0$, отсюда $x=-1$;
Выражение имеет смысл при:
$x-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }1$;
Корни уравнения: $-1;0$.

$\frac{\mathrm{3)\; x}(x^2+4)}{x-1}=0$;
$x(x^2+4)=0$, тогда:
$x=0$;
$x^2+4=0\text{— корней нет;}$
Выражение имеет смысл при:
$x-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }1$;
Корни уравнения: $0$;

$\frac{\mathrm{4)\; x}(x^2-4)}{x-1}=0$;
$x(x^2-4)=0$;
$x(x-2)(x+2)=0$, тогда:
$x=0$;
$x-2=0$, отсюда $x=2$;
$x+2=0$, отсюда $x=-2$;
Выражение имеет смысл при:
$x-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }1$;
Корни уравнения: $-2;0;2$;

Ответ: 4.

1) Рассмотрим уравнение:

$$\frac{x^2+1}{x-1}=0$$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю, так как дробь с ненулевым знаменателем равна нулю только в случае, когда числитель равен нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение:

$$x^2+1=0$$

Решая это уравнение, получаем:

$$x^2=-1$$

Корней этого уравнения нет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

2) Рассмотрим следующее уравнение:

$$\frac{x(x^2-1)}{x-1}=0$$

Как и в предыдущем случае, дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Нам нужно решить уравнение:

$$x(x^2-1)=0$$

Используем формулу разности квадратов для $x^2-1$:

$$x(x-1)(x+1)=0$$

Теперь можем решить это уравнение. Получаем:

$$x=0\text{или}x-1=0\text{или}x+1=0$$

Решения:

$$x=0,x=1,x=-1$$

Но выражение имеет смысл только при $x\mathrm{\ne }1$, так как при $x=1$ знаменатель будет равен нулю. Следовательно, корнями уравнения являются $x=-1$ и $x=0$.

3) Рассмотрим следующее уравнение:

$$\frac{x(x^2+4)}{x-1}=0$$

Числитель этой дроби будет равен нулю, если:

$$x(x^2+4)=0$$

Решаем это уравнение:

$$x=0\text{или}{x}^2+4=0$$

Из уравнения $x^2+4=0$ мы получаем:

$$x^2=-4$$

Корней этого уравнения нет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, корнем уравнения является только $x=0$.

4) Рассмотрим уравнение:

$$\frac{x(x^2-4)}{x-1}=0$$

Числитель этой дроби будет равен нулю, если:

$$x(x^2-4)=0$$

Используем формулу разности квадратов для $x^2-4$:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Теперь решим это уравнение. Получаем:

$$x=0\text{или}x-2=0\text{или}x+2=0$$

Решения:

$$x=0,x=2,x=-2$$

Но выражение имеет смысл только при $x\mathrm{\ne }1$, так как при $x=1$ знаменатель будет равен нулю. Следовательно, корнями уравнения являются $x=0$, $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: 4.