ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 3 Номер 11 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен $15$ см, а его площадь $14$ см². Найдите стороны прямоугольника.

1) Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая — $y$ см;

2) Площадь составляет 14 см², значит: $xy = 14$;

3) Периметр равен 15 см, значит: $x + y = 7.5$;

4) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} xy = 14 \\ x + y = 7.5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy — 14 = 0 \\ y = 7.5 — x \end{cases};$$

$x(7.5 — x) — 14 = 0$;
$7.5x — x^2 — 14 = 0 \quad | \cdot (-2)$;
$2x^2 — 15x + 28 = 0$;
$D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 28 = 225 — 224 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{15 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5$ и $x_2 = \frac{15 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$;
$y_1 = 7.5 — 3.5 = 4$ и $y_2 = 7.5 — 5 = 3.5$;

Ответ: 4 см и 3.5 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая сторона — $y$ см. Известно, что площадь прямоугольника равна 14 см², что означает следующее уравнение:

$$xy = 14$$

Также известно, что периметр прямоугольника равен 15 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. Из условия задачи, $P = 15$, следовательно:

$$2(x + y) = 15$$

Разделим обе части на 2:

$$x + y = 7.5$$

У нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} xy = 14 \\ x + y = 7.5 \end{cases}$$

Чтобы решить эту систему, выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:

$$y = 7.5 — x$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$$x(7.5 — x) = 14$$

Раскроем скобки:

$$7.5x — x^2 = 14$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$7.5x — x^2 — 14 = 0$$

Умножим обе части на 2 для упрощения вычислений:

$$15x — 2x^2 — 28 = 0$$

Преобразуем уравнение в стандартный вид:

$$2x^2 — 15x + 28 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения $a = 2$, $b = -15$, $c = 28$:

$$D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 28 = 225 — 224 = 1$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{15 \pm 1}{4}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{15 — 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

Теперь находим соответствующие значения $y$ для каждого из $x$. Из уравнения $x + y = 7.5$ получаем:

• Для $x_1 = 3.5$:

$$y_1 = 7.5 — 3.5 = 4$$

• Для $x_2 = 4$:

$$y_2 = 7.5 — 4 = 3.5$$

Ответ: 4 см и 3.5 см.