ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 2 Номер 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Функция задана формулой $y = -25x^2$. Какие из следующих утверждений являются верными? Выпишите их номера.

1) Вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат;

2) Ветви параболы направлены вниз;

3) Область значений функции — промежуток $[0;\ +\infty)$;

4) Функция убывает на промежутке $(-∞;\ 0]$;

5) Функция убывает на промежутке $[0;\ +\infty)$;

6) Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Функция: $y = -25x^2$;

1) Вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат:
Верно, так как функция имеет вид $y = ax^2$, и при $x = 0$ значение $y = 0$, следовательно, вершина — точка $(0;\ 0)$.

2) Ветви параболы направлены вниз:
Верно, потому что коэффициент $a = -25 < 0$, а при отрицательном $a$ парабола открыта вниз.

3) Область значений функции — промежуток $[0;\ +\infty)$:
Неверно, так как максимум функции достигается в вершине и равен $0$, а все остальные значения $y$ меньше. Значит, область значений: $y \in (-\infty;\ 0]$.

4) Функция убывает на промежутке $(-\infty;\ 0]$:
Неверно, на этом промежутке значения $x$ уменьшаются, а $y$ увеличиваются (то есть функция возрастает).

5) Функция убывает на промежутке $[0;\ +\infty)$:
Верно, после вершины при $x > 0$ значения $x$ увеличиваются, а значения $y$ уменьшаются.

6) Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции:
Неверно, функция является чётной:
$f(-x) = -25 \cdot (-x)^2 = -25x^2 = f(x)$,
значит, противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции.

Ответ: 1, 2, 5.

Функция задана формулой $y = -25x^2$

1) Вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат

Функция имеет вид $y = ax^2$, где $a = -25$. Это частный случай квадратной функции без линейного и свободного члена: $b = 0$, $c = 0$.
Координаты вершины определяются по формуле:
$x = -\frac{b}{2a}$. В данном случае:
$x = -\frac{0}{2 \cdot (-25)} = 0$
Подставляем $x = 0$ в функцию:
$y = -25 \cdot 0^2 = 0$
Вершина — точка $(0;\ 0)$

Утверждение 1 верно.

2) Ветви параболы направлены вниз

Парабола $y = ax^2$ имеет ветви, направленные вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$. Здесь:
$a = -25 < 0$, следовательно, парабола открыта вниз

Утверждение 2 верно.

3) Область значений функции — промежуток $[0;\ +\infty)$

Рассмотрим поведение функции:
При любом $x \in \mathbb{R}$, квадрат $x^2 \geqslant 0$, а значит, $-25x^2 \leqslant 0$.
Наибольшее значение достигается в вершине:
$y_{\text{max}} = -25 \cdot 0^2 = 0$
Все остальные значения $y$ меньше нуля, поэтому:
$y \in (-\infty;\ 0]$

Утверждение 3 неверно.

4) Функция убывает на промежутке $(-\infty;\ 0]$

Для функции $y = ax^2$ с $a < 0$, график — парабола, открытая вниз.
На промежутке $(-\infty;\ 0)$, при уменьшении $x$, значения $x^2$ возрастают, но с минусом $-25x^2$ уменьшаются по модулю (то есть $y$ увеличивается).
Следовательно, функция возрастает на интервале $(-\infty;\ 0]$

Утверждение 4 неверно.

5) Функция убывает на промежутке $[0;\ +\infty)$

На интервале $x > 0$, квадрат $x^2$ растёт, и соответственно $y = -25x^2$ убывает.
Значения $y$ становятся всё меньшими:
$x = 1 \Rightarrow y = -25$
$x = 2 \Rightarrow y = -100$, и так далее.

Утверждение 5 верно.

6) Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

Проверим чётность функции:
$f(-x) = -25(-x)^2 = -25x^2 = f(x)$
Значит, $f(-x) = f(x)$, а не $f(-x) = -f(x)$.
Функция является чётной, а не нечётной. Противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции.

Утверждение 6 неверно.

Ответ: 1, 2, 5