ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 2 Номер 14 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке схематически изображён график функции
$y = 2x^2 + 4x — 6$.
Пользуясь рисунком, решите неравенство
$2x^2 + 4x — 6 > 0$.

$2x^2 + 4x — 6 > 0$:

Ветви параболы направлены вверх;
Нули функции: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$;

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Рассматривается неравенство $2x^2 + 4x — 6 > 0$. Это квадратное неравенство, и его решение зависит от анализа соответствующей квадратичной функции $y = 2x^2 + 4x — 6$.

Приведём квадратный трёхчлен к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, где:
$a = 2$, $b = 4$, $c = -6$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх, а значит, график имеет минимум в вершине и принимает положительные значения вне промежутка между корнями уравнения $y = 0$, если они существуют.

Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 + 4x — 6 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$$

Корни находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} \Rightarrow x = \frac{-4 \pm 8}{4}$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{-4 — 8}{4} = \frac{-12}{4} = -3,\quad x_2 = \frac{-4 + 8}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Это точки, в которых график параболы пересекает ось $x$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, знаки выражения $2x^2 + 4x — 6$ распределяются следующим образом:
– при $x < -3$ значение функции положительное,
– при $-3 < x < 1$ значение функции отрицательное,
– при $x > 1$ значение функции снова положительное.

Это следует из свойств параболы и знаков коэффициента $a$. Нас интересует область, где выражение строго больше нуля, то есть:

$$2x^2 + 4x — 6 > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$

Точки $x = -3$ и $x = 1$ в решение не включаются, так как в неравенстве знак строгий.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.