ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 1 Номер 9 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

О числах $a$ и $c$ известно, что $a < c$. Какое из неравенств неверно?

$a — 3 < c — 3$;

$-\frac{a}{2} < -\frac{c}{2}$;

$a + 5 < c + 5$;

4) $\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$.

Известно: $a < c$;

$a — 3 < c — 3$ — верно;

$a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) > c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $\Rightarrow$ $-\frac{a}{2} > -\frac{c}{2}$ — неверно;

$a + 5 < c + 5$ — верно;

4) $\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$ — верно;

Ответ: 2.

Известно: $a < c$;

$a — 3 < c — 3$ — верно:

Это неравенство можно доказать, прибавив $-3$ к обеим частям неравенства $a < c$. Поскольку операция сложения или вычитания одинакового числа с обеих сторон неравенства сохраняет знак неравенства, получаем:

$$a < c \quad \Rightarrow \quad a — 3 < c — 3.$$

Таким образом, утверждение верно, так как операция вычитания на обеих сторонах неравенства сохраняет его истинность.

$a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) > c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $\Rightarrow$ $-\frac{a}{2} > -\frac{c}{2}$ — неверно:

Предположим, что умножаем обе части неравенства $a < c$ на $-\frac{1}{2}$. Когда мы умножаем или делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$$a < c \quad \Rightarrow \quad \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot a > \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot c,$$

или, что то же самое:

$$-\frac{a}{2} > -\frac{c}{2}.$$

Это утверждение неверно, потому что, когда мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства должен поменяться, но выражение $-\frac{a}{2} > -\frac{c}{2}$ не соответствует исходному неравенству.

$a + 5 < c + 5$ — верно:

Чтобы доказать это, прибавим одинаковое число $5$ к обеим частям неравенства $a < c$. Операция сложения на обеих сторонах сохраняет знак неравенства:

$$a < c \quad \Rightarrow \quad a + 5 < c + 5.$$

Таким образом, утверждение верно, так как операция прибавления числа к обеим частям неравенства не изменяет его истинности.

4) $\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$ — верно:

Если умножить обе части неравенства $a < c$ на положительное число $\frac{1}{4}$, знак неравенства не изменится, так как умножение на положительное число сохраняет знак:

$$a < c \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c.$$

Следовательно, утверждение верно, так как умножение на положительное число сохраняет знак неравенства.

Ответ: 2.