ГДЗ по Алгебре 9 Класс Проверьте Себя (Тест) Глава 1 Номер 16 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $a$ система неравенств

$$\{\begin{array}{l}4x⩽10\\ x-a⩾0\end{array}$$

имеет решения?

Система неравенств:

$$\{\begin{array}{l}4x⩽10\\ x-a⩾0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x⩽\frac{10}{4}\\ x⩾a\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x⩽2,5\\ x⩾a\end{array}$$

$a⩽x⩽2,5$;

Имеет решения при $a⩽2,5$;

Ответ: $a\in (-\mathrm{\infty };2,5]$.

Система неравенств:

$$\{\begin{array}{l}4x⩽10\\ x-a⩾0\end{array}$$

Из первого неравенства $4x⩽10$, делим обе части на 4, получаем:

$$x⩽\frac{10}{4}$$$$x⩽2,5$$

Это неравенство ограничивает возможные значения $x$ сверху, и они должны быть меньше или равны 2,5.

Из второго неравенства $x-a⩾0$, добавляем $a$ к обеим частям неравенства:

$$x⩾a$$

Это неравенство накладывает ограничение снизу, требуя, чтобы $x$ было больше или равно $a$.

Таким образом, система неравенств:

$$\{\begin{array}{l}x⩽2,5\\ x⩾a\end{array}$$

может быть записана как:

$$a⩽x⩽2,5$$

Это означает, что $x$ должно находиться в интервале от $a$ до 2,5.

Чтобы система имела решения, необходимо, чтобы $a$ было меньше или равно 2,5. В противном случае, интервал для $x$ не существовал бы, так как $x$ не мог бы одновременно быть больше или равно $a$ и меньше или равно 2,5, если $a>2,5$.

Следовательно, система имеет решения при $a⩽2,5$.

Ответ: $a\in (-\mathrm{\infty };2,5]$.