ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 71 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $f(x) = \frac{4}{x}$;
б) $f(x) = -\frac{8}{x}$.

По графику определите:

1) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;

2) на каком промежутке значения функции положительны; отрицательны.

Построить график:

а) $f(x) = \frac{4}{x}$, $k = 4$, $k > 0$;

Свойства функции:

1) Функция убывает;

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$;

б) $f(x) = -\frac{8}{x}$, $k = -8$, $k < 0$;

Свойства функции:

1) Функция возрастает;

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$;
$y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$;

а) $f(x) = \frac{4}{x}$.

Эта функция имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k = 4$. Так как значение параметра $k$ положительное ($k > 0$), график функции представляет собой гиперболу, расположенную в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: все действительные значения $x$, кроме точки $x = 0$, так как в этой точке функция не определена. Следовательно, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значения функции также не принимают ноль, поэтому область значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Свойства функции:

Так как $k > 0$, функция является убывающей на каждом из промежутков области определения. Это означает, что при увеличении $x$ значения функции $y$ уменьшаются как на промежутке $(-\infty; 0)$, так и на промежутке $(0; +\infty)$. Например, при $x = 1$, $y = 4$, при $x = 2$, $y = 2$, при $x = 4$, $y = 1$. Аналогично, при $x = -1$, $y = -4$, при $x = -2$, $y = -2$, при $x = -4$, $y = -1$. Таким образом, чем больше по модулю $x$, тем ближе значение функции к нулю.

Знак функции определяется знаком переменной $x$. При $x > 0$ числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, поэтому $y > 0$. При $x < 0$ знаменатель отрицателен, а числитель положителен, поэтому $y < 0$. Следовательно: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

б) $f(x) = -\frac{8}{x}$.

Эта функция также имеет вид $y = \frac{k}{x}$, но в данном случае $k = -8$. Так как параметр $k$ отрицателен ($k < 0$), график функции представляет собой гиперболу, расположенную во второй и четвертой координатных четвертях. Область определения функции: все действительные значения $x$, кроме нуля, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений аналогична: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Свойства функции:

Так как $k < 0$, функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения. Это означает, что если $x$ увеличивается, то $y$ также увеличивается на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Например, для положительных $x$: при $x = 1$, $y = -8$; при $x = 2$, $y = -4$; при $x = 4$, $y = -2$. Значения становятся ближе к нулю, то есть увеличиваются. Для отрицательных $x$: при $x = -1$, $y = 8$; при $x = -2$, $y = 4$; при $x = -4$, $y = 2$. Здесь также значения увеличиваются по мере увеличения $x$.

Знак функции противоположен знаку $x$, так как числитель отрицателен, а знаменатель принимает как положительные, так и отрицательные значения. При $x > 0$ знаменатель положителен, поэтому функция отрицательна: $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$. При $x < 0$ знаменатель отрицателен, поэтому произведение отрицательного числителя и отрицательного знаменателя положительно: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Итог:
а) $f(x) = \frac{4}{x}$ — убывающая функция, $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
б) $f(x) = -\frac{8}{x}$ — возрастающая функция, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.