ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 66 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{4}x, & \text{если } x \leq 0, \\ 4x, & \text{если } x > 0; \end{array} \right.$

б) $y = \left\{ \begin{array}{ll} x+1, & \text{если } x \leq 0, \\ -x+1, & \text{если } x > 0; \end{array} \right.$

в) $y = \left\{ \begin{array}{ll} -x-3, & \text{если } x \leq -1, \\ -2, & \text{если } x > 0; \end{array} \right.$

г) $y = \left\{ \begin{array}{ll} 3x, & \text{если } x \leq 1, \\ 3, & \text{если } x > 1; \end{array} \right.$

Построить график:

а) $y = \begin{cases} -\frac{1}{4}x, \text{ если } x \le 0 \\ 4x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$;

б) $y = \begin{cases} x + 1, \text{ если } x \le 0 \\ -x + 1, \text{ если } x > 0 \end{cases}$;

в) $y = \begin{cases} -x — 3, \text{ если } x \le -1 \\ -2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$;

г) $y = \begin{cases} 3x, \text{ если } x \le 1 \\ 3, \text{ если } x > 1 \end{cases}$;

а) $y = \begin{cases} -\frac{1}{4}x, \text{ если } x \le 0 \\ 4x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$.

Здесь функция задана кусочно: при всех отрицательных и нулевых значениях аргумента $x$ используется формула $y = -\frac{1}{4}x$, а при положительных значениях аргумента $x$ используется формула $y = 4x$. Формула $y = -\frac{1}{4}x$ является линейной функцией с коэффициентом наклона $k = -\frac{1}{4}$, который меньше нуля, следовательно, эта функция убывает. Прямая проходит через точку $(0;0)$, так как подстановка $x=0$ даёт $y=0$. Наклон линии очень пологий, так как модуль коэффициента равен $0,25$. Для примера, если взять $x = -4$, то $y = -\frac{1}{4}\cdot(-4) = 1$, значит точка $(-4;1)$ лежит на графике. Если взять $x=-8$, то $y=2$, точка $(-8;2)$. Таким образом, часть графика для $x \leq 0$ — это убывающая прямая через начало координат, уходящая влево вверх. Вторая часть, при $x > 0$, описывается уравнением $y=4x$. Здесь коэффициент наклона $k=4>0$, функция возрастает, наклон очень крутой. Она также проходит через начало координат. Например, при $x=1$, $y=4$; при $x=2$, $y=8$. График состоит из двух лучей: левый луч убывающий, правый луч возрастающий.

б) $y = \begin{cases} x+1, \text{ если } x \le 0 \\ -x+1, \text{ если } x > 0 \end{cases}$.

Здесь также кусочная функция. Для $x \le 0$ формула $y=x+1$ задаёт прямую с коэффициентом наклона $k=1>0$, то есть возрастающую функцию. Она пересекает ось ординат в точке $(0;1)$, а также проходит через точку $(-1;0)$. Следовательно, часть графика для $x \leq 0$ — возрастающий луч, направленный влево вниз и проходящий через точку $(0;1)$. Для $x>0$ формула $y=-x+1$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $k=-1<0$, то есть убывающую. Она также пересекает ось ординат в точке $(0;1)$, а ось абсцисс — в точке $(1;0)$. Таким образом, часть графика при $x>0$ — убывающий луч, уходящий вправо вниз. В результате график представляет собой букву V, вершина которой находится в точке $(0;1)$.

в) $y = \begin{cases} -x-3, \text{ если } x \le -1 \\ -2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$.

В этом случае для значений $x \le -1$ функция задаётся формулой $y=-x-3$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-1<0$, то есть убывающая. Она пересекает ось ординат в точке $(0;-3)$, а также проходит через точку $(-3;0)$. Но область применения ограничена $x \le -1$, поэтому берём часть этой прямой, которая находится левее или равна $-1$. Для проверки: при $x=-1$ значение функции $y=-(-1)-3=1-3=-2$, то есть точка $(-1;-2)$ принадлежит графику. Таким образом, левая ветвь графика — это убывающий луч, начиная от точки $(-1;-2)$ и уходящий влево вверх. Для $x>0$ значение функции постоянно равно $y=-2$. Это значит, что график на интервале $(0;+\infty)$ представляет собой горизонтальный луч, параллельный оси абсцисс, расположенный на высоте $y=-2$, начиная с точки $(0;-2)$ и уходящий вправо.

г) $y = \begin{cases} 3x, \text{ если } x \le 1 \\ 3, \text{ если } x > 1 \end{cases}$.

Здесь для $x \le 1$ функция имеет вид $y=3x$, что является линейной зависимостью с коэффициентом наклона $k=3>0$, значит функция возрастает. Она проходит через начало координат и через точку $(1;3)$. График этой части — это луч прямой, направленный влево вниз и вправо вверх до точки $(1;3)$. Для $x>1$ функция принимает постоянное значение $y=3$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс, начинающаяся в точке $(1;3)$ и продолжающаяся вправо.

Таким образом:
— в пункте а график состоит из двух прямых с разным наклоном, пересекающихся в начале координат;
— в пункте б график имеет вид угла или буквы V;
— в пункте в график объединяет убывающий луч слева и горизонтальный луч справа;
— в пункте г график объединяет возрастающую прямую до точки $(1;3)$ и горизонтальный луч на уровне $y=3$.