ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 58 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{3}+2$.
Подсказка. Убедитесь в том, что квадрат полученного выражения равен подкоренному числу исходного выражения.

Доказать равенство:
$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 2$;
$\sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{3} + 2$;
$\sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{3} + 2$;
$|2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} + 2$;
$2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 2$;

Равенство доказано.

Доказать равенство:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 2$.

Проверим данное равенство через возведение правой части в квадрат, так как квадратный корень по определению является обратной операцией к возведению в квадрат, и если два выражения равны, то их квадраты тоже должны совпадать.

Возведем правую часть в квадрат:

$(\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2$.

$(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4$.

Соберем подобные члены:

$(\sqrt{3} + 2)^2 = 7 + 4\sqrt{3}$.

Теперь заметим, что подкоренное выражение в левой части равно $7 + 4\sqrt{3}$.

Таким образом, мы доказали:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 2)^2}$.

Согласно определению квадратного корня из квадрата числа, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{3} + 2)^2} = |\sqrt{3} + 2|$.

Так как $\sqrt{3} > 0$ и $2 > 0$, сумма $\sqrt{3} + 2 > 0$, поэтому модуль раскрывается как:

$|\sqrt{3} + 2| = \sqrt{3} + 2$.

Следовательно, окончательно имеем:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 2$.

Равенство доказано.