ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 57 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}$.

Убрать иррациональность:
$A = \frac{1 — \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} = \frac{(1 — \sqrt{7}) \cdot (3 — \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7}) \cdot (3 — \sqrt{7})}$;
$A = \frac{3 — \sqrt{7} — 3\sqrt{7} + 7}{9 — 7} = \frac{10 — 4\sqrt{7}}{2}$;
$A = \frac{2 \cdot (5 — 2\sqrt{7})}{2} = 5 — 2\sqrt{7}$;
Ответ: $5 — 2\sqrt{7}$.

$A = \frac{1 — \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$.

Знаменатель содержит иррациональное число $\sqrt{7}$. Чтобы избавиться от иррациональности, умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на $3 — \sqrt{7}$. Получаем:

$A = \frac{1 — \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} \cdot \frac{3 — \sqrt{7}}{3 — \sqrt{7}}$.

Теперь числитель равен произведению двух выражений:

$(1 — \sqrt{7})(3 — \sqrt{7}) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-\sqrt{7}) + (-\sqrt{7}) \cdot 3 + (-\sqrt{7}) \cdot (-\sqrt{7})$.

Пошагово раскроем:
$1 \cdot 3 = 3$,
$1 \cdot (-\sqrt{7}) = -\sqrt{7}$,
$(-\sqrt{7}) \cdot 3 = -3\sqrt{7}$,
$(-\sqrt{7}) \cdot (-\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 = 7$.

Собираем все полученные слагаемые:
$3 — \sqrt{7} — 3\sqrt{7} + 7 = 3 + 7 — \sqrt{7} — 3\sqrt{7}$.

Приведём подобные:
$3 + 7 = 10$,
$-\sqrt{7} — 3\sqrt{7} = -4\sqrt{7}$.

Итого числитель:
$10 — 4\sqrt{7}$.

Теперь знаменатель:
$(3 + \sqrt{7})(3 — \sqrt{7})$.

Это выражение имеет вид $(a+b)(a-b) = a^2 — b^2$.
В нашем случае $a = 3$, $b = \sqrt{7}$. Тогда:
$3^2 — (\sqrt{7})^2 = 9 — 7 = 2$.

Подставим числитель и знаменатель:
$A = \frac{10 — 4\sqrt{7}}{2}$.

Вынесем общий множитель $2$ из числителя:
$10 — 4\sqrt{7} = 2(5 — 2\sqrt{7})$.

Таким образом:
$A = \frac{2(5 — 2\sqrt{7})}{2}$.

Сокращаем множитель $2$ в числителе и знаменателе:
$A = 5 — 2\sqrt{7}$.

Ответ: $5 — 2\sqrt{7}$.