ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 52 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие из чисел $\sqrt{121}$, $\sqrt{0,4}$, $\sqrt{2\frac{1}{4}}$, $2\sqrt{38}$ являются иррациональными и какие — рациональными числами?

Заданы числа:
$\sqrt{121} = \sqrt{11 \cdot 11} = 11$;
$\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{2}{\sqrt{5 \cdot 2}} \notin Q$;
$\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = 3 : 2 = 1,5$;
$2\sqrt{38} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 19} \notin Q$;

Ответ: $\sqrt{121} \in Q$; $\sqrt{2\frac{1}{4}} \in Q$;
$\sqrt{0,4} \notin Q$; $2\sqrt{38} \notin Q$.

Заданы числа:

$\sqrt{121} = \sqrt{11 \cdot 11}$. Так как выражение под знаком корня представляет собой произведение одинаковых множителей $11 \cdot 11$, то результат извлечения квадратного корня равен самому числу $11$. Это целое число, а все целые числа являются также рациональными, так как их можно записать в виде дроби с знаменателем $1$. Например, $11 = \frac{11}{1}$. Следовательно, $\sqrt{121} \in Q$.

$\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{4}{10}}$. Сократим дробь $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда получаем $\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$. Для проверки принадлежности этому числу множеству рациональных нужно установить, можно ли результат выразить в виде обыкновенной дроби с целыми числителями и знаменателями. Однако корни из чисел $2$ и $5$ являются иррациональными. Их отношение также иррационально, так как деление одного иррационального корня на другой не даёт точного рационального числа. Поэтому $\sqrt{0,4} \notin Q$.

$\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$. Дробь $\frac{9}{4}$ — это точная квадратная дробь, так как числитель $9$ является квадратом числа $3$, а знаменатель $4$ является квадратом числа $2$. Тогда $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$. В десятичной форме это $1,5$. Так как полученный результат является дробным числом, он принадлежит множеству рациональных. Следовательно, $\sqrt{2\frac{1}{4}} \in Q$.

$2\sqrt{38} = 2 \cdot \sqrt{38}$. Подкоренное число $38$ не имеет точных квадратных делителей, кроме единицы, и не является квадратом целого числа. Его разложение на множители: $38 = 2 \cdot 19$. Ни $2$, ни $19$ не являются квадратами. Следовательно, $\sqrt{38}$ является иррациональным числом. При умножении иррационального числа на целое число $2$ результат остаётся иррациональным, так как рационализация не происходит. Таким образом, $2\sqrt{38} \notin Q$.

Ответ: $\sqrt{121} \in Q$; $\sqrt{2\frac{1}{4}} \in Q$; $\sqrt{0,4} \notin Q$; $2\sqrt{38} \notin Q$.