ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 5 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите: 1) НОК (12; 18) и НОД (12; 18); 2) НОК (60; 72) и НОД (60; 72).

Вычислить значения:

$\text{НОК}(12; 18) = \text{НОК}(2 \cdot 2 \cdot 3; 2 \cdot 3 \cdot 3) = 3^2 \cdot 2^2 = 36$;
$\text{НОД}(12; 18) = \text{НОД}(2 \cdot 2 \cdot 3; 2 \cdot 3 \cdot 3) = 1 \cdot 2^1 \cdot 3^1 = 6$;
Ответ: 36; 6.

$\text{НОК}(60; 72) = \text{НОК}(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5; 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$;
$\text{НОД}(60; 72) = \text{НОД}(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5; 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$;
Ответ: 360; 12.

Вычислить значения:

1) Рассмотрим числа 12 и 18. Разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$,
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел находится как произведение всех простых множителей, встречающихся в разложении обоих чисел, взятых в наибольших степенях. В нашем случае: для числа 2 берём показатель степени 2 (так как в 12 — $2^2$, в 18 — $2^1$), для числа 3 берём показатель степени 2 (так как в 12 — $3^1$, в 18 — $3^2$). Тогда:
$\text{НОК}(12;18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел находится как произведение всех простых множителей, встречающихся в разложении обоих чисел, взятых в наименьших степенях. Для числа 2 берём показатель степени 1 (так как минимальная степень между $2^2$ и $2^1$ равна 1), для числа 3 берём показатель степени 1 (так как минимальная степень между $3^1$ и $3^2$ равна 1). Тогда:
$\text{НОД}(12;18) = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 36; 6.

2) Рассмотрим числа 60 и 72. Разложим их на простые множители:
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$,
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$.

Наименьшее общее кратное (НОК). Берём каждый простой множитель в наибольшей степени, которая встречается в разложениях: для числа 2 степень равна 3 (так как в 60 — $2^2$, а в 72 — $2^3$), для числа 3 степень равна 2 (так как в 60 — $3^1$, а в 72 — $3^2$), для числа 5 степень равна 1 (так как в 60 есть $5^1$, а в 72 нет множителя 5). Следовательно:
$\text{НОК}(60;72) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$.

Наибольший общий делитель (НОД). Берём каждый простой множитель в наименьшей степени, которая встречается в разложениях: для числа 2 степень равна 2 (так как минимальная между $2^2$ и $2^3$), для числа 3 степень равна 1 (так как минимальная между $3^1$ и $3^2$), множитель 5 в числе 72 отсутствует, поэтому его не учитываем. Получаем:
$\text{НОД}(60;72) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 360; 12.