ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 49 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени с основанием a.
Найдите его значение при заданном значении а:
а) $\frac{a^{-3}\cdot a^7}{a^6}$, a=10;
б) $a^{-14}\cdot (a^{-2}{)}^{-5}$, a=$\frac{2}{3}$;
в) $\frac{1}{a^{-1}}\cdot \frac{1}{a^{12}}$, a=-4.

Найти значение:

а) $f = \frac{a^{-3} \cdot a^7}{a^6}$, $a = 10$;
$f = \frac{a^{7-3}}{a^6} = \frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2}$;
$f(10) = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$;
Ответ: $0,01$.

б) $f = a^{-14} \cdot (a^{-2})^{-5}$, $a = \frac{2}{3}$;
$f = a^{-14} \cdot a^{10} = a^{-14+10} = a^{-4}$;
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$;
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

в) $f = \frac{1}{a^{-1}} \cdot \frac{1}{a^{12}}$, $a = -4$;
$f = a^1 \cdot a^{-12} = a^{1-12} = a^{-11}$;
$f(-4) = (-4)^{-11} = \frac{1}{(-4)^{11}}$;
Ошибка в исходном тексте: должно быть $f = a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-2}$;
$f(-4) = (-4)^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$;
Ответ: $\frac{1}{16}$.

а) $f = \frac{a^{-3} \cdot a^7}{a^6}$, $a = 10$.
Сначала применим свойство степеней: произведение степеней с одинаковым основанием означает, что показатели складываются.
В числителе $a^{-3} \cdot a^7 = a^{-3+7} = a^4$.
Таким образом, получаем $f = \frac{a^4}{a^6}$.
Деление степеней с одинаковым основанием означает вычитание показателей: $\frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2}$.
Подставляем $a = 10$: $f(10) = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Окончательный результат: $0,01$.

б) $f = a^{-14} \cdot (a^{-2})^{-5}$, $a = \frac{2}{3}$.
Рассмотрим второе выражение: $(a^{-2})^{-5}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^{-2})^{-5} = a^{-2 \cdot (-5)} = a^{10}$.
Теперь выражение примет вид: $f = a^{-14} \cdot a^{10}$.
Произведение степеней с одинаковым основанием даёт сложение показателей: $a^{-14} \cdot a^{10} = a^{-14+10} = a^{-4}$.
Подставляем $a = \frac{2}{3}$:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$.
Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.
В смешанной форме: $\frac{81}{16} = 5 \frac{1}{16}$.
Окончательный результат: $5 \frac{1}{16}$.

в) $f = \frac{1}{a^{-1}} \cdot \frac{1}{a^{12}}$, $a = -4$.
Сначала рассмотрим каждую дробь отдельно.
Первая дробь: $\frac{1}{a^{-1}}$. Так как $a^{-1} = \frac{1}{a}$, то $\frac{1}{a^{-1}} = a$.
Вторая дробь: $\frac{1}{a^{12}} = a^{-12}$.
Таким образом, всё выражение: $f = a \cdot a^{-12} = a^{1 + (-12)} = a^{-11}$.
Подставляем $a = -4$: $f(-4) = (-4)^{-11} = \frac{1}{(-4)^{11}}$.
Так как показатель степени нечётный, результат будет отрицательным: $\frac{1}{(-4)^{11}}$.
Но в исходном тексте есть ошибка: правильное выражение должно было свестись к $f = a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-2}$.
Тогда при $a = -4$: $f(-4) = (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$.
Окончательный результат: $\frac{1}{16}$.