ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 44 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) $\frac{x-6}{x^2+3x}-\frac{x-3}{x}+\frac{x}{x+3}$; г) $\left(1 — \frac{x}{x+y}\right)\left(1 + \frac{y}{x-y}\right)$;
б) $\frac{2a}{a-3}-\frac{a^2+a}{4}:\frac{a+1}{8}$; д) $\frac{1-a}{a^2-a} — \frac{1+a}{1-a^2}$;
в) $\frac{a-c}{ac}\cdot (\frac{a}{a-c}-\frac{a}{a+c})$; е) $\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}$.

а) $\frac{x — 6}{x^2 + 3x} — \frac{x — 3}{x} + \frac{x}{x + 3} = \frac{x — 6}{x(x + 3)} — \frac{x — 3}{x} + \frac{x}{x + 3}$. приводим к общему знаменателю $x(x+3)$: первая дробь остаётся без изменения, вторая домножается на $x+3$, третья — на $x$. получаем $\frac{x — 6}{x(x+3)} — \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} + \frac{x^2}{x(x+3)}$. объединяем числители: $(x — 6) — (x^2 — 9) + x^2$. раскрываем: $x — 6 — x^2 + 9 + x^2 = x + 3$. значит, дробь $\frac{x+3}{x(x+3)}$. сокращаем $x+3$. результат: $\frac{1}{x}$.

б) $\frac{2a}{a-3} — \frac{a^2+a}{4} : \frac{a+1}{8}$. сначала преобразуем деление: $\frac{a^2+a}{4} \cdot \frac{8}{a+1} = 2a$. тогда выражение примет вид $\frac{2a}{a-3} — 2a$. приводим к общему знаменателю $a-3$: $\frac{2a — 2a(a-3)}{a-3}$. раскрываем числитель: $2a — 2a^2 + 6a = -2a^2 + 8a$. выносим $2a$: $\frac{2a(4-a)}{a-3}$.

в) $\frac{a-c}{ac} \cdot \left(\frac{a}{a-c} — \frac{a}{a+c}\right)$. общий знаменатель в скобке — $(a-c)(a+c)$. числитель: $a(a+c) — a(a-c) = a^2+ac — a^2+ac = 2ac$. значит, скобка равна $\frac{2ac}{(a-c)(a+c)}$. умножаем на $\frac{a-c}{ac}$. получаем $\frac{2ac(a-c)}{ac(a-c)(a+c)}$. сокращаем $ac$ и $a-c$. остаётся $\frac{2}{a+c}$.

г) $\left(1 — \frac{x}{x+y}\right)\left(1 + \frac{y}{x-y}\right)$. раскрываем: $1 + \frac{y}{x-y} — \frac{x}{x+y} — \frac{xy}{(x+y)(x-y)}$. приводим к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$. числитель: $(x+y)(x-y) + y(x+y) — x(x-y) — xy$. раскрываем: $x^2-y^2 + xy+y^2 — x^2+xy — xy$. остаётся $-x^2+y^2+xy$. тогда общая дробь: $\frac{-x^2+y^2+xy}{(x+y)(x-y)}$. знаменатель равен $x^2-y^2$. итог: $\frac{xy}{x^2-y^2}$.

д) $\frac{1-a}{a^2-a} — \frac{1+a}{1-a^2}$. в первом знаменателе выносим $a$: $a(a-1)$. числитель $1-a = -(a-1)$. значит, дробь равна $\frac{-(a-1)}{a(a-1)} = -\frac{1}{a}$. вторая дробь: $1-a^2=(1-a)(1+a) = -(a-1)(a+1)$. значит, $\frac{1+a}{1-a^2} = \frac{1+a}{-(a-1)(a+1)} = -\frac{1}{a-1}$. итоговое выражение: $-\frac{1}{a} — \left(-\frac{1}{a-1}\right) = -\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}$. приводим к общему знаменателю $a(a-1)$: $\frac{- (a-1)+a}{a(a-1)} = \frac{1}{a(a-1)}$.

е) $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$. первый знаменатель: $a(b-a)$. значит, дробь: $\frac{b}{a(b-a)}$. второй знаменатель: $b(a-b) = -b(b-a)$. значит, дробь: $\frac{a}{-b(b-a)} = -\frac{a}{b(b-a)}$. общий знаменатель $ab(b-a)$. числитель: $b^2 — a^2$. разложение: $(b-a)(b+a)$. сокращаем $b-a$. остаётся $\frac{b+a}{ab}$.

а) Рассмотрим выражение $\frac{x — 6}{x^2 + 3x} — \frac{x — 3}{x} + \frac{x}{x + 3}$. знаменатель первой дроби раскладываем: $x^2 + 3x = x(x+3)$. значит, первая дробь имеет вид $\frac{x — 6}{x(x+3)}$. вторая дробь $\frac{x — 3}{x}$ домножается на $x+3$, чтобы получить общий знаменатель $x(x+3)$. третья дробь $\frac{x}{x+3}$ домножается на $x$. получаем: $\frac{x — 6}{x(x+3)} — \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} + \frac{x^2}{x(x+3)}$. приводим под одну дробь: $\frac{(x-6) — (x^2-9) + x^2}{x(x+3)}$. раскрываем числитель: $x — 6 — x^2 + 9 + x^2 = x+3$. дробь принимает вид $\frac{x+3}{x(x+3)}$. сокращаем на $x+3$. остаётся $\frac{1}{x}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{2a}{a-3} — \frac{a^2+a}{4} : \frac{a+1}{8}$. сначала вычислим вторую часть: деление дробей заменяется умножением: $\frac{a^2+a}{4} \cdot \frac{8}{a+1}$. числитель: $a^2+a = a(a+1)$. сокращаем $a+1$. получаем $\frac{a}{4} \cdot 8 = 2a$. теперь выражение принимает вид $\frac{2a}{a-3} — 2a$. приводим к общему знаменателю $a-3$: $\frac{2a — 2a(a-3)}{a-3}$. раскрываем числитель: $2a — 2a^2 + 6a = -2a^2+8a$. выносим $2a$: $\frac{2a(4-a)}{a-3}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{a-c}{ac} \cdot \left(\frac{a}{a-c} — \frac{a}{a+c}\right)$. в скобках берём общий знаменатель: $(a-c)(a+c)$. числитель: $a(a+c)-a(a-c) = a^2+ac-a^2+ac = 2ac$. скобка равна $\frac{2ac}{(a-c)(a+c)}$. умножаем на $\frac{a-c}{ac}$. получаем $\frac{(a-c)}{ac} \cdot \frac{2ac}{(a-c)(a+c)} = \frac{2ac(a-c)}{ac(a-c)(a+c)}$. сокращаем $ac$ и $a-c$. остаётся $\frac{2}{a+c}$.

г) Рассмотрим выражение $\left(1-\frac{x}{x+y}\right)\left(1+\frac{y}{x-y}\right)$. раскроем скобки: $1+\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x+y}-\frac{xy}{(x+y)(x-y)}$. общий знаменатель: $(x+y)(x-y)$. приводим числители: $(x+y)(x-y)+y(x+y)-x(x-y)-xy$. раскрываем: $x^2-y^2+xy+y^2-x^2+xy-xy$. остаётся $-x^2+y^2+xy$. знаменатель $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. получаем $\frac{-x^2+y^2+xy}{x^2-y^2}$. преобразуем: это равно $\frac{xy}{x^2-y^2}$.

д) Рассмотрим выражение $\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}$. в первой дроби знаменатель: $a^2-a=a(a-1)$. числитель $1-a=-(a-1)$. дробь равна $\frac{-(a-1)}{a(a-1)}=-\frac{1}{a}$. во второй дроби знаменатель: $1-a^2=(1-a)(1+a)=-(a-1)(a+1)$. дробь равна $\frac{1+a}{-(a-1)(a+1)}=-\frac{1}{a-1}$. значит, всё выражение равно $-\frac{1}{a}-\left(-\frac{1}{a-1}\right)=-\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}$. приводим к общему знаменателю: $\frac{- (a-1)+a}{a(a-1)}=\frac{1}{a(a-1)}$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}$. первый знаменатель: $ab-a^2=a(b-a)$. дробь: $\frac{b}{a(b-a)}$. второй знаменатель: $ab-b^2=b(a-b)=-b(b-a)$. дробь: $\frac{a}{-b(b-a)}=-\frac{a}{b(b-a)}$. общий знаменатель: $ab(b-a)$. числитель: $b^2-a^2$. разложение: $(b-a)(b+a)$. сокращаем $b-a$. остаётся $\frac{b+a}{ab}$.