ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 43 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия с дробями:
1) а) $\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}$; в) $\frac{2}{3x+2}+\frac{8}{9x^2-4}$;
б) $\frac{y}{2(y-1)}+\frac{y}{4(y-1)}$; г) $\frac{x+y}{x-y}-\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$;
2) а) $\frac{a^4{b}^2}{5xy}\cdot \frac{10x^3}{a^2{b}^2}$; г) $\frac{m^2-2m}{n^2}\cdot \frac{4}{m^2-n^2}$;
б) $\frac{x+1}{x}:\frac{2x+2}{x}$; д) $\frac{4a^2}{2a-b}\cdot (2a-b)$;
в) $\frac{2a^2}{25-5a}:\frac{10a}{(a-5{)}^2}$; е) $\frac{ac-a^2}{c}:(a-c)$.

Выполнить действия:

1) а) $\frac{a}{a + b} — \frac{a — b}{a} = \frac{a^2 — (a — b) \cdot (a + b)}{a \cdot (a + b)} = \frac{b^2}{a(a + b)}$;
б) $\frac{y}{2(y — 1)} + \frac{y}{4(y — 1)} = \frac{2y}{4 \cdot (y — 1)} + \frac{y}{4 \cdot (y — 1)} = \frac{3y}{4(y — 1)}$;
в) $\frac{2}{3x + 2} + \frac{8}{9x^2 — 4} = \frac{2 \cdot (3x — 2) + 8}{(3x + 2) \cdot (3x — 2)} = \frac{2(3x + 2)}{9x^2 — 4} = \frac{2}{3x — 2}$;
г) $\frac{x + y}{x — y} — \frac{x^2 + y^2}{x^2 — y^2} = \frac{(x + y)^2 — (x^2 + y^2)}{(x — y) \cdot (x + y)} = \frac{2xy}{x^2 — y^2}$;

2) а) $\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2} = \frac{5xa^2b^2 \cdot 2x^2a^2}{5xa^2b^2 \cdot y} = \frac{2x^2a^2}{y}$;
б) $\frac{x + 1}{x} : \frac{2x + 2}{x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x}{2 \cdot (x + 1)} = \frac{1}{2} = 0,5$;
в) $\frac{2a^2}{25 — 5a} : \frac{10a}{(a — 5)^2} = \frac{2a^2}{5(5 — a)} \cdot \frac{(5 — a)^2}{10a} = \frac{a(5 — a)}{25}$;
г) $\frac{m^2 — 2m}{n^2} \cdot \frac{4}{m^2 — n^2} = \frac{4(m^2 — 2m)}{n^2(m^2 — n^2)} = \frac{4m(m — 2)}{n^2(m — n)(m + n)}$;
д) $\frac{4a^2}{2a — b} \cdot (2a — b) = 4a^2 \cdot \frac{2a — b}{2a — b} = 4a^2 \cdot 1 = 4a^2$;
е) $\frac{ac — a^2}{c} : (a — c) = \frac{a \cdot (c — a)}{c \cdot (a — c)} = -\frac{a}{c}$;

1) а) начнем с выражения $\frac{a}{a+b} — \frac{a-b}{a}$. приведение к общему знаменателю: общий знаменатель равен $a(a+b)$. тогда первую дробь домножаем на $a$, получаем $\frac{a^2}{a(a+b)}$. вторую дробь домножаем на $a+b$, получаем $\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}$. вычитаем: $\frac{a^2 — (a^2 — b^2)}{a(a+b)}$. раскрываем скобки: $a^2 — a^2 + b^2 = b^2$. итог: $\frac{b^2}{a(a+b)}$.

б) имеем $\frac{y}{2(y-1)} + \frac{y}{4(y-1)}$. общий знаменатель $4(y-1)$. первую дробь домножаем на 2, получаем $\frac{2y}{4(y-1)}$. складываем со второй дробью: $\frac{2y}{4(y-1)} + \frac{y}{4(y-1)} = \frac{3y}{4(y-1)}$.

в) выражение $\frac{2}{3x+2} + \frac{8}{9x^2-4}$. замечаем, что $9x^2-4 = (3x+2)(3x-2)$. приводим к общему знаменателю: общий знаменатель $(3x+2)(3x-2)$. первую дробь домножаем на $3x-2$, получаем $\frac{2(3x-2)}{(3x+2)(3x-2)}$. вторую дробь уже имеет этот знаменатель. складываем: $\frac{2(3x-2)+8}{(3x+2)(3x-2)} = \frac{6x-4+8}{(3x+2)(3x-2)} = \frac{6x+4}{(3x+2)(3x-2)}$. выносим 2: $\frac{2(3x+2)}{(3x+2)(3x-2)}$. сокращаем на $3x+2$. результат: $\frac{2}{3x-2}$.

г) имеем $\frac{x+y}{x-y} — \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$. замечаем, что $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. первый дробь приводим к этому знаменателю: $\frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}$. вычитаем вторую дробь: $\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{(x-y)(x+y)}$. раскрываем: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. вычитаем $(x^2+y^2)$. остаётся $2xy$. получаем $\frac{2xy}{(x-y)(x+y)} = \frac{2xy}{x^2-y^2}$.

2) а) рассмотрим $\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2}$. перемножаем числители и знаменатели: $\frac{a^4b^2 \cdot 10x^3}{5xy \cdot a^2b^2}$. сокращаем $b^2$. получаем $\frac{a^4 \cdot 10x^3}{5xya^2}$. делим 10 на 5, получаем 2. остаётся $\frac{2a^4x^3}{xya^2}$. упрощаем: $\frac{a^4}{a^2}=a^2$, $\frac{x^3}{x}=x^2$. итог: $\frac{2a^2x^2}{y}$.

б) имеем $\frac{x+1}{x} : \frac{2x+2}{x}$. преобразуем: $\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x}{2x+2}$. сокращаем $x$. остаётся $\frac{x+1}{2x+2}$. выносим 2: $2x+2=2(x+1)$. дробь упрощается: $\frac{x+1}{2(x+1)}=\frac{1}{2}$. результат: 0,5.

в) выражение $\frac{2a^2}{25-5a} : \frac{10a}{(a-5)^2}$. переписываем: $\frac{2a^2}{5(5-a)} \cdot \frac{(a-5)^2}{10a}$. заметим, что $5-a=-(a-5)$. значит $\frac{2a^2}{5(5-a)}=-\frac{2a^2}{5(a-5)}$. подставляем: $-\frac{2a^2}{5(a-5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{10a}$. сокращаем $a$: остаётся $-\frac{2a}{5(a-5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{10}$. сокращаем $(a-5)$: $\frac{(a-5)^2}{a-5}=a-5$. получаем $-\frac{2a(a-5)}{50}$. делим 2 на 50: $-\frac{a(a-5)}{25}$. эквивалентно $\frac{a(5-a)}{25}$.

г) $\frac{m^2-2m}{n^2} \cdot \frac{4}{m^2-n^2}$. переписываем: $\frac{4(m^2-2m)}{n^2(m^2-n^2)}$. разложим $m^2-2m=m(m-2)$, $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. итог: $\frac{4m(m-2)}{n^2(m-n)(m+n)}$.

д) $\frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b)$. знаменатель и множитель $2a-b$ сокращаются. остаётся $4a^2$.

е) $\frac{ac-a^2}{c} : (a-c)$. в числителе вынесем $a$: $a(c-a)$. дробь: $\frac{a(c-a)}{c}$. разделить на $a-c$ — значит умножить на $\frac{1}{a-c}$. но $c-a=-(a-c)$. тогда $\frac{a(c-a)}{c(a-c)} = \frac{a \cdot (-(a-c))}{c(a-c)} = -\frac{a}{c}$.