ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 41 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите допустимые значения переменной для дроби:
а) $\frac{x — 7}{2x + 8}$; б) $\frac{2a — 5}{a^2}$;
в) $\frac{x^2}{x^2 + 1}$; г) $\frac{a — 1}{(a — 2)(a + 3)}$.

а) $\frac{x — 7}{2x + 8}$, $2x + 8 \ne 0$;
$2 \cdot x \ne -8$, $x \ne -8 : 2 = -4$;
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

б) $\frac{2a — 5}{a^2}$, $a^2 \ne 0$, $a \ne 0$;
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $\frac{x^2}{x^2 + 1}$, $x \in R$;
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г) $\frac{a — 1}{(a — 2)(a + 3)}$, $a_1 \ne -3$, $a_2 \ne 2$;
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

а) Дано выражение $\frac{x — 7}{2x + 8}$. Знаменатель содержит выражение $2x + 8$. Так как делить на ноль нельзя, требуется условие $2x + 8 \ne 0$. Решим уравнение $2x + 8 = 0$: $2x = -8$, $x = -4$. Следовательно, значение $x = -4$ исключается из области определения. Таким образом, область определения — все вещественные числа, кроме $-4$: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

б) Дано выражение $\frac{2a — 5}{a^2}$. Здесь знаменатель равен $a^2$. Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю: $a^2 \ne 0$. Из этого следует $a \ne 0$. Других ограничений нет, так как числитель $2a — 5$ не накладывает ограничений. Следовательно, область определения — все вещественные числа, кроме нуля: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Дано выражение $\frac{x^2}{x^2 + 1}$. Знаменатель равен $x^2 + 1$. Для любого вещественного числа $x$, выражение $x^2 \geq 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. Знаменатель никогда не равен нулю. Это означает, что ограничений нет и область определения включает все вещественные числа: $(-\infty; +\infty)$.

г) Дано выражение $\frac{a — 1}{(a — 2)(a + 3)}$. Знаменатель представляет собой произведение двух множителей: $(a — 2)(a + 3)$. Произведение не должно быть равно нулю, поэтому исключаем такие значения $a$, при которых хотя бы один множитель равен нулю: $a — 2 = 0 \implies a = 2$ и $a + 3 = 0 \implies a = -3$. Эти значения запрещены. Таким образом, область определения — все вещественные числа, кроме $-3$ и $2$: $(-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)$.