ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 4 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Числа а и b — нечётные. Какое из следующих чисел также является нечётным?
1) a+b; 2) 2ab; 3) a+b+1; 4) (a+1)b.
б) Числа а и b — чётные. Какое из следующих чисел также является чётным?
1) a+b+1; 2) (a+1)b; 3) ab+1; 4) (a+1)(b+1).

а) Числа $a$ и $b$ — нечетные:

$a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2 \cdot (m + n) + 2$;

$2ab = 2(2m + 1)(2n + 1) = 2(4mn + 2m + 2n + 1)$;

$a + b + 1 = (2m + 1) + (2n + 1) + 1 = 2(m + n) + 3$;

$(a + 1)b = (2m + 1 + 1)(2n + 1) = 2(m + 1)(2n + 1)$;

Ответ: 3) $a + b + 1$.

б) Числа $a$ и $b$ — четные:

$a + b + 1 = 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1$;

$(a + 1)b = (2m + 1) \cdot 2n = 2(2m + 1)n$;

$ab + 1 = 2m \cdot 2n + 1 = 2 \cdot (2mn) + 1$;

$(a + 1)(b + 1) = (2m + 1)(2n + 1)$;

Ответ: 2) $(a + 1)b$.

а) Числа $a$ и $b$ — нечетные. Пусть $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$, где $m$ и $n$ — целые числа.

Рассмотрим выражение $a + b$. Подставляем:
$a + b = (2m + 1) + (2n + 1)$.

Соберём подобные слагаемые:
$a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n) + 2$.

Это число является чётным, так как имеет вид $2k$.

Рассмотрим выражение $2ab$. Подставляем:
$2ab = 2(2m + 1)(2n + 1)$.

Раскроем скобки:
$(2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1$.

Умножаем всё на 2:
$2ab = 2(4mn + 2m + 2n + 1)$.

Это также чётное число, так как имеет множитель 2.

Рассмотрим выражение $a + b + 1$. Подставляем:
$a + b + 1 = (2m + 1) + (2n + 1) + 1$.

Собираем:
$a + b + 1 = 2m + 2n + 3 = 2(m + n) + 3$.

Это выражение имеет вид $2k + 1$, то есть является нечётным числом.

Рассмотрим выражение $(a+1)b$. Подставляем:
$(a+1)b = (2m+1+1)(2n+1) = (2m+2)(2n+1)$.

Вынесем 2:
$(a+1)b = 2(m+1)(2n+1)$.

Так как есть множитель 2, результат является чётным.

Следовательно, только выражение $a + b + 1$ является нечётным.

Ответ: 3) $a + b + 1$.

б) Числа $a$ и $b$ — чётные. Пусть $a = 2m$, $b = 2n$, где $m$ и $n$ — целые числа.

Рассмотрим выражение $a + b + 1$. Подставляем:
$a + b + 1 = 2m + 2n + 1$.

Соберём:
$a + b + 1 = 2(m+n) + 1$.

Это число нечётное, так как имеет вид $2k + 1$.

Рассмотрим выражение $(a+1)b$. Подставляем:
$(a+1)b = (2m+1)(2n)$.

Переставим множители:
$(a+1)b = 2(2m+1)n$.

Так как присутствует множитель 2, это число всегда чётное.

Рассмотрим выражение $ab+1$. Подставляем:
$ab+1 = (2m)(2n) + 1 = 4mn + 1$.

Это число имеет вид $2k + 1$, значит оно нечётное.

Рассмотрим выражение $(a+1)(b+1)$. Подставляем:
$(a+1)(b+1) = (2m+1)(2n+1)$.

Раскроем скобки:
$(a+1)(b+1) = 4mn + 2m + 2n + 1$.

Это выражение имеет вид $2k + 1$, значит оно нечётное.

Вывод: только выражение $(a+1)b$ является чётным.

Ответ: 2) $(a+1)b$.