ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, делится ли на 4 сумма четырёх последовательных натуральных чисел.
Подсказка. Запишите с помощью букв сумму четырёх последовательных чисел, сложите их.

Пусть $n$ — наименьшее число: $S = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)$; $S = (n + n + n + n) + (1 + 2 + 3)$; $S = 4n + 6$, $4n : 4$, $6 \nmid 4$; Ответ: нет.

Пусть $n$ — наименьшее число. Тогда четыре последовательных числа можно записать как: $n, \, n+1, \, n+2, \, n+3$. Их сумма равна:
$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$.

Раскроем скобки:
$S = n + n + 1 + n + 2 + n + 3$.

Соберём отдельно все слагаемые с $n$ и отдельно константы:
$S = (n+n+n+n) + (1+2+3)$.

Так как $n$ повторяется 4 раза, имеем $n+n+n+n = 4n$. А сумма констант равна $1+2+3 = 6$. Следовательно, сумма равна:
$S = 4n + 6$.

Теперь рассмотрим делимость. Число $4n$ всегда делится на 4, так как это произведение числа $n$ и числа 4: $4n : 4$. Но добавка «6» к этому выражению нарушает кратность. Проверим: $S = 4n + 6$. Если разделить на 4, получаем $\dfrac{4n + 6}{4} = n + \dfrac{6}{4} = n + 1,5$. Поскольку результат деления содержит дробную часть, то $S$ не является целым числом, кратным 4.

Следовательно, сумма четырёх последовательных чисел никогда не делится на 4.

Ответ: нет.