ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 801 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Ваш друг задумал число от 1 до 10. Вы должны угадать его с трёх попыток.
а) Каковы ваши шансы на успех?
б) Сколько вам нужно попыток, чтобы шансы были больше 1/2?

Задумано число от 1 до 10, то есть всего 10 вариантов;

а) Вероятность НЕ угадать число с трех попыток:

$\overline{P} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{10} = 0,7$;

Значит вероятность угадать число с трех попыток:

$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,7 = 0,3 = 30\%$;

Ответ: 30%.

б) Вероятность угадать число будет больше $\frac{1}{2}$ при:

$1 — \overline{P} \geq \frac{1}{2}$, отсюда $\overline{P} < \frac{1}{2}$;

$\overline{P} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} < \frac{1}{2}$;

Количество попыток: $n = 6$.

Задумано число от 1 до 10, то есть всего 10 вариантов;

а) Вероятность НЕ угадать число с трёх попыток. Рассмотрим последовательность выбора:

при первой попытке вероятность ошибиться равна $\frac{9}{10}$, так как из 10 чисел только одно является задуманным, а остальные 9 — неправильные;

при второй попытке, если первая была неудачной, остаётся 9 чисел, из которых одно правильное и 8 неправильных. Следовательно, вероятность снова ошибиться равна $\frac{8}{9}$;

при третьей попытке, если первые две неудачные, остаётся 8 чисел, из которых одно правильное и 7 неправильных. Вероятность снова ошибиться равна $\frac{7}{8}$.

Так как все события должны происходить одновременно (три раза подряд не угадать), то итоговая вероятность равна произведению этих вероятностей:
$\overline{P} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8}$.

Сократим: девятки сокращаются, восьмёрки сокращаются, остаётся:
$\overline{P} = \frac{7}{10}$.

В десятичной форме это равно $0,7$, или 70%. Это означает, что вероятность три раза подряд не угадать задуманное число равна 70%.

Теперь вероятность угадать число хотя бы один раз в трёх попытках будет дополнением к предыдущей вероятности:
$P = 1 — \overline{P}$.

Подставим:
$P = 1 — 0,7 = 0,3$.

В процентах это:
$0,3 \cdot 100\% = 30\%$.

Следовательно, шанс угадать число за три попытки равен 30%.

Ответ: 30%.

б) Теперь найдём минимальное количество попыток, при которых вероятность угадать число будет больше половины, то есть $P > \frac{1}{2}$.

Известно:
$P = 1 — \overline{P}$.
Чтобы вероятность угадывания была больше $\frac{1}{2}$, нужно, чтобы вероятность неудачи была меньше $\frac{1}{2}$:
$1 — \overline{P} \geq \frac{1}{2}$, отсюда $\overline{P} < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим вероятность неудачи при 6 попытках. Она равна произведению вероятностей промаха на каждом шаге:
$\overline{P} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5}$.

Сократим множители: остаётся
$\overline{P} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Теперь сравним: $0,4 < 0,5$. Условие выполняется, значит при 6 попытках вероятность угадать число хотя бы один раз будет больше половины.

Таким образом, минимальное количество попыток, при которых вероятность угадать число превышает 50%, равно $n = 6$.

Количество попыток: $n = 6$.