ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 800 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 5 мальчиков и 2 девочки. Какова вероятность того, что девочки будут сидеть рядом?

Есть 7 мест, на которые садятся 5 мальчиков и 2 девочки;

1) Способов, которыми можно рассадить детей (порядок важен):

$A_{7}^{7} = P_{7} = 7!$;

2) Допустим, что девочки сидят рядом, тогда будем рассматривать их как один элемент размещения, требуется найти количество способов рассадить 6 детей на 6 мест и умножить результат на 2 (девочек можно поменять местами в каждой из расстановок):

$N = 2 \cdot A_{6}^{6} = 2P_{6} = 2 \cdot 6!$;

3) Вероятность того, что девочки будут сидеть рядом:

$P = \frac{2 \cdot 6!}{7!} = \frac{2 \cdot 6!}{7 \cdot 6!} = \frac{2}{7}$;

Ответ: $\frac{2}{7}$.

Есть 7 мест, на которые садятся 5 мальчиков и 2 девочки;

1) Сначала определим общее количество способов рассадить всех семерых детей на 7 мест. Так как порядок имеет значение (важно, кто именно сидит на каком месте), задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов. Формула:
$A_{7}^{7} = P_{7} = 7!$.

Факториал числа 7 вычисляется так:
$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.
Пошагово:
$7 \cdot 6 = 42$,
$42 \cdot 5 = 210$,
$210 \cdot 4 = 840$,
$840 \cdot 3 = 2520$,
$2520 \cdot 2 = 5040$,
$5040 \cdot 1 = 5040$.
Таким образом, всего существует $5040$ способов рассадить всех детей.

2) Теперь рассмотрим случай, когда девочки сидят рядом. Чтобы упростить задачу, будем рассматривать двух девочек как один объединённый элемент. Тогда вместо 7 детей у нас образуется 6 элементов: 5 мальчиков + 1 «блок девочек». Эти 6 элементов можно рассадить на 6 мест разными способами. Поскольку порядок также имеет значение, количество способов равно числу перестановок из 6 элементов:
$A_{6}^{6} = P_{6} = 6!$.

Вычислим факториал числа 6:
$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.

Однако внутри «блока девочек» они могут сидеть в двух возможных порядках: девочка А слева и девочка Б справа или наоборот. То есть каждая расстановка 6 элементов соответствует двум вариантам расположения девочек внутри блока. Следовательно, количество способов равно:
$N = 2 \cdot A_{6}^{6} = 2 \cdot 6!$.

Подставим численное значение:
$N = 2 \cdot 720 = 1440$.
Значит, всего существует 1440 способов рассадить детей так, чтобы девочки сидели рядом.

3) Теперь вероятность того, что девочки окажутся рядом, равна отношению числа благоприятных исходов (когда девочки сидят рядом) к общему числу всех исходов:
$P = \frac{N}{7!} = \frac{2 \cdot 6!}{7!}$.

Так как $7! = 7 \cdot 6!$, получаем:
$P = \frac{2 \cdot 6!}{7 \cdot 6!}$.

Сокращаем $6!$:
$P = \frac{2}{7}$.

Таким образом, вероятность равна $\frac{2}{7}$. В десятичной форме это примерно $0,2857$, что соответствует 28,57%.

Ответ: $\frac{2}{7}$.