ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 799 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какова вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы года?

Всего в году 12 месяцев, будем считать, что рождение в каждый из них равновероятно;

1) Каждый из 12 человек может родиться в любой из этих месяцев, следовательно число всех возможных вариантов равно:

$A = 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 = 12^{12}$;

2) Вариантов, при которых у всех людей разные месяцы рождения:

$A_{12}^{12} = P_{12} = 12!$;

3) Вероятность, что все люди родились в разные месяцы:

$P = \frac{12!}{12^{12}}$;

Ответ: $\frac{12!}{12^{12}} \approx 0,00005$.

Всего в году 12 месяцев, будем считать, что рождение в каждый из них равновероятно;

1) Каждый из 12 человек может родиться в любом месяце независимо от других. Так как у каждого есть 12 равновероятных вариантов, то общее количество возможных комбинаций рождения всех 12 человек определяется как произведение этих вариантов:
$A = 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12$.
Так как умножение 12 на само себя 12 раз обозначается степенью, получаем:
$A = 12^{12}$.
Это и есть общее количество всех возможных распределений месяцев рождения для 12 человек. Численно $12^{12} = 8\,916\,100\,448\,256$. Это огромное число показывает, сколько всего теоретически может быть распределений месяцев рождения.

2) Теперь рассмотрим случаи, при которых все месяцы рождения у людей разные, то есть ни у двоих не совпадают месяцы. Это означает, что каждый месяц занят ровно одним человеком. Такая ситуация возможна только тогда, когда все 12 месяцев выбраны, и каждому человеку назначен свой уникальный месяц.

Количество таких исходов определяется как число перестановок из 12 элементов, потому что каждому из 12 человек мы должны поставить в соответствие один из 12 различных месяцев. Формула:
$A_{12}^{12} = P_{12} = 12!$.

Здесь $12!$ — факториал числа 12, который равен произведению всех целых чисел от 1 до 12:
$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.

Вычислим:
$12 \cdot 11 = 132$,
$132 \cdot 10 = 1320$,
$1320 \cdot 9 = 11880$,
$11880 \cdot 8 = 95040$,
$95040 \cdot 7 = 665280$,
$665280 \cdot 6 = 3991680$,
$3991680 \cdot 5 = 19958400$,
$19958400 \cdot 4 = 79833600$,
$79833600 \cdot 3 = 239500800$,
$239500800 \cdot 2 = 479001600$,
$479001600 \cdot 1 = 479001600$.

Итак, $12! = 479001600$. Это количество случаев, когда все месяцы рождения различны.

3) Теперь вероятность того, что все люди родились в разные месяцы, равна отношению числа благоприятных исходов (когда месяцы не совпадают) к общему числу всех исходов:
$P = \frac{12!}{12^{12}}$.

Подставим вычисленные значения:
$P = \frac{479001600}{8\,916\,100\,448\,256}$.

Выполним деление:
$P \approx 0,0000537$.

В процентах это составляет:
$0,0000537 \cdot 100\% \approx 0,00537\%$.

Таким образом, вероятность того, что все 12 человек родятся в разные месяцы, очень мала — примерно пять сотых процента. Это означает, что в случайной группе из 12 человек почти наверняка у кого-то совпадут месяцы рождения.

Ответ: $\frac{12!}{12^{12}} \approx 0,00005$.