ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 788 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) В математике есть формула для нахождения числа размещений: $A(n; k) = \frac{n!}{(n-k)!}$. Используя эту формулу, решите ещё раз задачи 777 (а), 778 (а), 779 (а).
Получился ли у вас тот же ответ?

2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний:
$C(n; k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1) Формула для нахождения числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!};$

777 (а). Способов сшить флаг с 3 полосами, если имеется 12 цветов: $A_{12}^3 = \frac{12!}{(12 — 3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 1320;$

778 (а). Способов выбрать 4 спортсменов из 10 для этапов эстафеты: $A_{10}^4 = \frac{10!}{(10 — 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 5040;$

779 (а). Способов выбрать 5 шахматистов из 15, которые будут играть на первой, второй, третьей, четвертой и пятой досках: $A_{15}^5 = \frac{15!}{(15 — 10)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} = 360\,360;$

2) Формула для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{n!}{(n — k)!} \cdot \frac{1}{k!} = \frac{n!}{k! (n — k)!};$

Что и требовалось доказать.

1) Формула для нахождения числа размещений имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!}$.
Эта формула отражает количество способов выбрать $k$ различных элементов из множества $n$ элементов, если важен порядок их расположения. Здесь $n!$ — это число всех перестановок из $n$ элементов, а деление на $(n-k)!$ устраняет перестановки тех элементов, которые в выборку не вошли.

Применим её к задачам:

777 (а). Найти число способов сшить флаг с 3 полосами, если доступно 12 различных цветов.
Используем формулу размещений:
$A_{12}^3 = \frac{12!}{(12 — 3)!} = \frac{12!}{9!}$.
При раскрытии факториала остаются только первые три множителя:
$A_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$.
Таким образом, существует 1320 различных вариантов сшить флаг.

778 (а). Найти число способов выбрать 4 спортсменов из 10 для этапов эстафеты, если порядок выступлений имеет значение.
Используем формулу размещений:
$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10 — 4)!} = \frac{10!}{6!}$.
При раскрытии факториала остаются первые четыре множителя:
$A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.
Следовательно, существует 5040 вариантов расстановки спортсменов.

779 (а). Найти число способов выбрать 5 шахматистов из 15 для игры на первой, второй, третьей, четвёртой и пятой досках. Порядок здесь имеет значение, так как каждый шахматист назначается на определённую доску.
Используем формулу размещений:
$A_{15}^5 = \frac{15!}{(15 — 5)!} = \frac{15!}{10!}$.
При раскрытии факториала остаются первые пять множителей:
$A_{15}^5 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$.
Вычисляем произведение:
$15 \cdot 14 = 210$,
$210 \cdot 13 = 2730$,
$2730 \cdot 12 = 32\,760$,
$32\,760 \cdot 11 = 360\,360$.
Таким образом, существует 360 360 способов рассадить шахматистов.

2) Теперь докажем формулу для нахождения числа сочетаний.

Известно, что число сочетаний $C_n^k$ — это количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учёта порядка.

Начнём с формулы для числа размещений:
$A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!}$.
Это количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов.

Теперь, чтобы из этого получить количество сочетаний, нужно исключить перестановки выбранных $k$ элементов, так как при сочетаниях порядок не важен. Количество таких перестановок равно $P_k = k!$.

Поэтому:
$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{\frac{n!}{(n — k)!}}{k!}$.
Упрощаем выражение:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}$.

Таким образом, мы показали, что формула для числа сочетаний равна:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Что и требовалось доказать.