ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 785 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В футбольной секции 24 человека. Сколькими способами можно выбрать из них футбольную команду (11 человек) так, чтобы Женя и Серёжа не входили в команду одновременно?

1) Способов выбрать 11 человек из 24, при этом все футболисты находятся в равных условиях, и порядок выбора значения не имеет. Это означает, что задача сводится к нахождению числа сочетаний, так как мы выбираем подмножество фиксированного размера без учета порядка элементов.

2) Рассмотрим ситуацию, когда Женя или Сережа обязательно входят в команду. В этом случае один из них уже выбран, а значит, остаётся выбрать ещё 10 человек из 22 оставшихся. Количество способов выбрать таких игроков определяется числом сочетаний $C_{22}^{10}$. Так как существует два варианта (либо Женя выбран, либо Сережа), то общее число вариантов в этой ситуации равно:
$2 \cdot C_{22}^{10}$.

3) Теперь рассмотрим ситуацию, когда ни Женя, ни Сережа не попадают в команду. В этом случае остаётся 22 футболиста, из которых нужно выбрать всех 11 игроков. Количество способов в этом случае:
$C_{22}^{11}$.

4) Таким образом, общее количество вариантов составит сумму случаев из пунктов (2) и (3):
$2C_{22}^{10} + C_{22}^{11}$.

Ответ: $2C_{22}^{10} + C_{22}^{11}$.

1) В задаче требуется найти количество способов выбрать 11 человек из общего числа 24 футболистов. Так как в условиях говорится, что «все футболисты будут играть на равных условиях», порядок выбора игроков не имеет значения. Это означает, что используется формула числа сочетаний, которая в общем виде записывается как
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,
где $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать. Следовательно, если бы ограничений на выбор Жени и Сережи не было, то общее число способов составило бы $C_{24}^{11}$. Однако в задаче требуется рассмотреть отдельные случаи участия или неучастия Жени и Сережи.

2) Рассмотрим первую ситуацию: в команду обязательно входит либо Женя, либо Сережа. То есть один из этих двух футболистов фиксированно занимает место в составе. Тогда остаётся 22 футболиста, из которых необходимо выбрать ещё 10 человек, чтобы дополнить команду до 11. Число способов такого выбора вычисляется как $C_{22}^{10}$. Так как возможны два варианта: выбран Женя или выбран Сережа, то общее количество способов в этом случае удваивается:
$2 \cdot C_{22}^{10}$.

Более детально:
— количество способов выбрать 10 человек при условии, что Женя уже в составе, равно $C_{22}^{10}$;
— количество способов выбрать 10 человек при условии, что Сережа уже в составе, также равно $C_{22}^{10}$;
так как эти случаи не пересекаются (нельзя одновременно учесть Женю и Сережу в этой ситуации, так как рассматривается «либо-либо»), то общее число способов равно сумме:
$C_{22}^{10} + C_{22}^{10} = 2 \cdot C_{22}^{10}$.

3) Рассмотрим вторую ситуацию: ни Женя, ни Сережа не входят в команду. Это значит, что в состав попадают только оставшиеся 22 футболиста. Необходимо выбрать 11 человек из этих 22. Так как порядок выбора не имеет значения, число способов определяется формулой сочетаний:
$C_{22}^{11}$.

4) Теперь получим окончательный результат. Общее количество способов выбрать команду с учётом всех случаев (либо Женя или Сережа обязательно в составе, либо они оба отсутствуют) будет равно сумме количества способов для этих двух случаев:
$2 \cdot C_{22}^{10} + C_{22}^{11}$.

Таким образом, итоговое выражение для числа способов составить команду:
$2C_{22}^{10} + C_{22}^{11}$.

Ответ: $2C_{22}^{10} + C_{22}^{11}$.