ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 784 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколькими способами можно выбрать 2 яблока и 3 груши из вазы с фруктами, в которой лежит 7 яблок и 5 груш?

1) Способов выбрать 2 яблока из 7; Неважно, в каком порядке будут выбраны яблоки, значит требуется найти число сочетаний из 7 элементов по 2: $C_7^2$;

2) Способов выбрать 3 груши из 5; Неважно, в каком порядке будут выбраны груши, значит требуется найти число сочетаний из 5 элементов по 3: $C_5^3$;

3) Количество вариантов выбора яблок и груш: $C_7^2 \cdot C_5^3$;

Ответ: $C_7^2 \cdot C_5^3$.

1) Чтобы определить количество способов выбрать 2 яблока из 7, нужно учитывать, что яблоки — это одинаковые объекты одного типа, и для задачи важно только то, какие именно 2 яблока будут выбраны, но не в каком порядке. В комбинаторике такие задачи решаются через число сочетаний. Формула сочетаний имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Здесь $n = 7$, $k = 2$. Тогда:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Таким образом, существует 21 способ выбрать 2 яблока из 7.

2) Чтобы определить количество способов выбрать 3 груши из 5, также используем формулу числа сочетаний, так как порядок выбора груш не имеет значения. Пусть $n = 5$, $k = 3$. Тогда:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10$.
Таким образом, существует 10 способов выбрать 3 груши из 5.

3) Так как выбор яблок и выбор груш — это независимые события (результат выбора яблок никак не влияет на результат выбора груш), то общее количество способов выбрать одновременно 2 яблока и 3 груши находится как произведение числа способов каждого выбора:
$C_7^2 \cdot C_5^3 = 21 \cdot 10 = 210$.

Ответ: $C_7^2 \cdot C_5^3 = 210$.